泉州台商投资区2022—2023学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.2x >B.2x ≥C.2x <D.2x =2.下列说法正确的是（ ）A.“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件B.“太阳从西方升起”是必然事件C.“明天会下雨”描述的事件是随机事件D.“射击运动员射击一次，命中十环”是必然事件3.用求根公式解一元二次方程2514x x -=时a ，b ，c 的值是（ ） A.5a =，1b =-，4c =- B.5a =，4b =-，1c = C.5a =，4b =-，1c =- D.5a =，4b =，1c = 4.下列各组线段中，成比例线段的是（ ）A.1cm ，2cm ，4cm ，6cmB.2cm ，4cm ，0.4cm ，7cmC.3cm ，9cm ，18cm ，6cmD.3cm ，4cm ，5cm ，6cm5.如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∽△△的是（ ）A.ACD B ∠=∠B.ADC ACB ∠=∠C.2AC AD AB =⋅D.2BC BD AB =⋅6.如图，在ABC △中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若4ADB S =△.则四边形BDEC 的面积为（ ）A.4B.8C.12D.167.在平面直角坐标系中，点()2,3A -关于y 轴对称的点的坐标（ ）A.()2,3B.()2,3-C.()2,3--D.()3,28.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则AOB ∠的正弦值是（ ）A.10B.10C.13D.129.在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ） A.()2170%a x a -= B.()2170%a x a += C.()2130%a x a -=D.()230%1x a a +=10.如图1，若ABC △内一点P 满足PAC PBA PCB ∠=∠=∠，则点P 为ABC △的布洛卡点，三角形的布洛卡点（Brocardpoint ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A .L .Crelle 1780—1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845—1922）重新发现，并用他的名字命名.问题：如图2，在等腰DEF △中，DF EF =，FG 是DEF △的中线，若点Q为DEF △的布洛卡点，9FQ =，FGDE=，则DQ EQ +=（ ）A.10B.92+C.6+D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.=______. 12.已知32a b =，那么a ab =-______.13.a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是______.14.在Rt ACB △中，若90C ∠=︒，sin A =，6b c +=，则b =______. 15.如图，直线113y x =+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，BOC △与B O C '''△是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为12:，则点B '的坐标为______.16.如图，抛物线221y x x m =-+++（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B .①抛物线221y x x m =-+++与直线2y m =+有且只有一个交点； ②若点()12,M y -、点21,2N y ⎛⎫⎪⎝⎭、点()32,P y 在该函数图象上，则123y y y <<； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为()21y x m =-++；④点A 关于直线1x =的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当1m =时，四边形BCDE 周长的最小值______.三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分8分）解方程：2210x x --=18.（本小题满分8分）计算：12sin 60-︒ 19.（本小题满分8分）如图，AB 、CD 相交于点Q ，已知3OA =，4OD =，2OB =， 1.5OC =. 求证：AOD COB ∽△△.20.（本小题满分8分）某区未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作.2022年11月疫情期间，辅导站对全区135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉.为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全区学生是否要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表：（1）通过以上数据估计，任意调查一名该区学生，这名学生需要心理辅导的概率大的是______；（精确到0.001） （2）辅导站通常使用A （沙盘游戏）、B （绘画分析）、C （会谈技术）、D （音乐放松）四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导，在某次心理辅导服务中，有2名学生选择A 方式，1名学生选择B 方式，2名学生选择C 方式，辅导站的马老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导，请用列表法或树状图求选中的这两名学生恰好都是选择C 方式的概率.21.（本小题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒.（1）用尺规作AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接BD 若4AD =，2CD =，求DBC ∠的正弦值. 22.（本小题满分10分）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12a x x b +=-，21x x ca=. 材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值. 解：∵一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ， ∴1m n +=，1mn =-，()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2310x x --=的两个根为1x ，2x ，则12x x +=______，21x x =______.（2）类比应用：已知一元二次方程2310x x --=的两根分别为m ，n ，求n mm n+的值. （3）思维拓展：已知实数s 、t 满足2310s s --=，2310t t --=，且s t ≠，求11s t-的值.23.（本小题满分10分）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话，设这种水果每千克降价x 元，解决下面所给问题：（1）设该水果超市销售该种水果一天的销量为y 千克，写出y 与x 之间的关系式：（2）该种水果每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果每千克应降价多少元？ （3）设该水果超市售该种水果一天可获利润w 元.求当该种水果每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值.24.（本小题满分12分）如图，在Rt ABC △中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，正方形BDEF 的边长为2，将正方形BDEF 绕点B 旋转一周，连接AE 、BE 、CD .（1）请找出图中与ABE △相似的三角形，并说明理由； （2）求当A 、E 、F 三点在一直线上时CD 的长；（3）设AE 的中点为M ，连接FM ，试求FM 长的取值范围. 25.（本小题满分14分）已知抛物线2111:12C y x x =-+.点()1,1F . （1）求抛物线1C 的顶点坐标；（2）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A .连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+=； ②抛物线1C 上任意一点()(),01p ppP x y x<<，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点(),Q Q Q x y ，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； （3）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线()2221:2C y x h =-，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值。

泉州台商投资区2022—2023学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1.B2.C3.C4.C5.D6.C7.A8.B9.C10.A第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.313.814.215.()3,2或()9,2--16.①③④三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：法一：∵2210x x --=， ∴1a =，2b =-，1c =-，∵()()224241180b ac =-=--⨯⨯-=>△，则1x ==±则11x =，21x =；法二：原方程可化为：2212x x -+=，即()212x -=∴开平方得，1x -=则11x =，21x =； 18.解：原式12=1=19.证明：∵321.5OA OC ==，422OD OB ==， ∴OA ODOC OB=， 又∵AOD COB ∠=∠，∴AOD COB △△. 20.解：（1）由题意可知：这名学生需要心理辅导的概率大约是0.030； （2）列表如下：（或画树状图）可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中，选中的这两名学生恰好都是选择C 方式的结果有2种.则P （恰好都是选择C 方式）212010==. 21.解：（1）如图，直线MN 即为所求.（2）∵点D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴4BD AD ==，在Rt DCB △中，90BCA ∠=︒， ∴21sin 42CD DBC BD ∠===. 22.解：（1）∵一元二次方程2310x x --=的两个根为1x ，2x ，∴12331b a x x -+=-=-=，12111c a x x ⋅==-=-. 故答案为：3，1-；（2）∵一元二次方程2310x x --=的两根分别为m 、n ， ∴3b m n a +=-=，1cmn a==-， ∴22m n m m n mnn ++= ()22m n nmnm +-=()23211-⨯-=-11=-；（3）∵实数s 、t 满足2310s s --=，2310t t --=， ∴s 、t 可以看作方程2310x x --=的两个根， ∴3b s t a +=-=，1cst a==-， ∵()()224t s t s st -=+-()2341=-⨯-13=∴t s -=或t s -=，当t s -=时，111t s s t st --===-当t s -=111t s s t st --===-综上分析可知，11s t- 23.解：（1）由题意知，设一次函数y kx b =+过点()38,160，()35,280则3816035280k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得40160k b =⎧⎨=⎩，∴40160y x =+.（2）设降低x 元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，()382216012036403x x ⎛⎫⎪⎝⎭--+⨯=，整理得212270x x -+=， ∴3x =或9x =.∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴9x =，∴售价为38929-=（元），答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元；（3）设降低x 元，由题得()38221601203x y x --+⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()224048025604064000y x x x =-++=--+， 当6x =时，y 最大4000=. ∴售价为38632-=（元），答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元. 24.解：（1）ABE CBD △△，∵在Rt ABC △中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒ ∴45ABC EBD ∠=∠=︒， ∴ABE CBD ∠=∠，∵AB BC =，BEBD = ∴AB BEBC BD=， ∴ABE CBD △△（2）∵ABE CBD △△，∴AE BECD BD==∴2CD AE =， ∵4AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴AB ==，∵当A 、E 、F 三点在一直线上时， ∵90AFB ∠=︒，∴(222AF ==-=如图1，当AE 在AB 左上方时，2AE AF EF =-=，∴CD =；如图2，当AE 在AB 右下方时，同理，2AE AF EF =+=，∴CD =；综上所述，当A 、E 、F 三点在一直线上时，CD（3）如图3，延长EF 到G 使FG EF =，连接AG ，BG ，则BFG △是等腰直角三角形，∴BG ==M 为AE 的中点，连接MF ，∴MF 是AGE △的中位线， ∴2AG FM =，在ABG △中，∵AB BG AG AB BG -≤≤+，∴AG ≤≤FM ≤≤ 25. 解：∵()22111111222y x x x =-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭； （2）①证明：根据题意得：点()0,1A ， ∵()1,1F ，∴AB x ∥轴，得1AF BF ==， ∴112AF BF+=； ②112PF QF+=成立. 理由如下：如图，过点(),p p p x y 作PM AB ⊥于点M ，则1p FM x =-，1p PM y =-，()01p x <<，∴Rt PMF △中，由勾股定理，得()()2222211p p PF FM PM x y =+=-+-， 又点(),p p p x y 在抛物线1C 上，得()211122p p y x -=+，即()2211p p x y =--， ∴()222211p p p PF y y y =-+-=，即p PF y =， 过点(),Q Q Q x y 作QN AB ⊥，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得：Q QF y =，∵90PMF QNF ∠=∠=︒，MFP NFQ ∠=∠， ∴PMF QNF △△， ∴PF PM QF QN=,这里11p PM y PF =-=-,11Q QN y QF =-=-, ∴11PF PF QF QF -=-，即112PF QF +=； （3）令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，0x '，且00x x '<，如图所示， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象，随若抛物线2C 向右不断平移，0x ，0x '的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，2y x ≤恒成立时，m 的最大值在0x '处取得， 可得：当02x =时，所对应的0x '即为m 的最大值. 于是，将02x =代入()212x h x -=，有()21222h -=， 解得：4h =或0h =（舍去）， ∴()22142y x =-，此时，由23y y =，得()2142x x -=， 解得：02x =，08x '=，∴m 的最大值为8.。