23.1 成比例线段
第2课时
教学目标
1.了解平行线分线段成比例的根本领实及其推论；
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.
教学重难点
【教学重点】
平行线分线段成比例的根本领实及其推论. 【教学难点】
用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.
课前准备 无 教学过程
一、情景导入
梯子是我们生活中常见的工具.
如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？ 二、合作探究
探究点一：平行线分线段成比例
如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，假设AB ＝3，DE ＝7
2
，EF ＝4，求BC 的长.
解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝7
2，EF ＝4，
∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE EF
，
即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72
×3＝24
7
.
方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.
如以下图，直线l 1∥l 2∥l 3，以下比例式中成立的是〔 〕
A.AD DF ＝CE BC
B.AD BE ＝BC AF
C.CE DF ＝AD BC
D.AF DF ＝BE CE
解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE
可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD
可知C 选项不成立；D 选项成立.应选D.
方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全〞或“上上＝下下＝全全〞.
探究点二：平行线分线段成比例的推论
如以下图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，假设AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，那么AC 等于〔 〕
解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝
AE AC ，即34＝6
AC
，∴AC ＝8.应选D.
易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例
式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.
如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：
BP CP ＝BD CE
. 解析：此题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点
C 作P
D 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD
DF
，此时只需证得CE ＝DF 即可.
证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，那么BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AE
CE
.
∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝
BD
CE
. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，那么可以直接应用平行线分线段成比例的根本领实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，那么需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的根本领实及其推论得到相关比例式. 三、板书设计
平行线
分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧根本领实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线与其他
两边相交，截得的对应线段成比例
四、教学反思
通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个根本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，开展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.
第1课时 正切与坡度
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：
一、观察答复：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
以以下图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图〔1〕 图〔2〕 [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述 台阶的倾斜程度呢？
① 可通过测量BC 与AC 的长度，
② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
〔思考：BC 与AC 长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？〕答：_________________.
③ 讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二：
〔1〕如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1，RtAB 2C 2， RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质，
得：
1
11AC C B ＝_________＝_________＝……
〔2〕由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
A
C 1
C 2A
C 3 B 1
B 2
B 3
A
对边b
C
对边a
B
斜边c
A 2
C
1 B
B
C
A
13
1
B
A
C
3
5
即：tanA ＝________＝__________
〔你能写出∠B 的正切表达式吗？〕试试看. 4、牛刀小试
根据以以下图中所给条件分别求出以以下图中∠A 、∠B 的正切值。
〔通过上述计算，你有什么发现？___________________.〕 5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
〔1〕例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O 出发沿着65°线移动到点P 时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。
于是可知，tan65°的近似值为2.14。
〔2〕请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
θ 10° 20° 30° 45° 55° 65° tan θ
〔3〕利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
〔4〕思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？ 三、随堂练习
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，AB ＝3， 那么tanA ＝________，tanB ＝______。
2、如图，在正方形ABCD 中，点E 为
AD 的中点,连结EB ，设∠EBA ＝α，那么tan α＝_________。
四、请你说说本节课有哪些收获？ 五、作业p40 习题7 .1 1、2 六、拓宽与提高
1m
(单位：米)
A
B
C
B
D C
E
1、如图是一个梯形大坝的横断面，
根据图中的尺寸，请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A〔－4,1〕，B〔－1，3〕，C〔－4,3〕，试求tanB的值。