T
B −1 = ( P −1AP ) = P −1A −1 (P −1 ) −1 = P −1A −1P
−1
B + B −1 = P −1AP + P −1A −1P = P −1 ( A + A −1 )P 故（A） ， （B） ， （D）都正确. 对于（C）来说， 一般地 P −1 ≠ PT ，因此不能 直接合起来用分配律得出. 具体结果可以用一个实 例加以解释.
令 P = (η1 η2
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ η3 ) ,η1 = ⎜ 2 ⎟ ,η2 = ⎜ 1 ⎟ ,η3 = ⎜ 于是 ⎜ 2⎟ ， ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1⎞ ⎛ ⎜0 0 2⎟ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 −1 P = ⎜ 2 −1 −2 ⎟ , P AP = Λ = ⎜ −1 ⎟， ⎜ ⎜ 1⎟ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ −1 1 ⎟ 2⎠ ⎝
−1 ⎛ 1 −1 ⎜ 3 ⎜0 a + 2 ⎜0 a −1 0 ⎝ ⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝
2 2 ⎞ ⎟ −3 a − 4 ⎟ 1− a 0 ⎟ ⎠
1 3a / (a + 2) ⎞ ⎟ 0 (a − 4) / (a + 2) ⎟ ⎟ 0 −1 ⎠
3a / (a + 2) ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 故唯一解 X = ⎜ 0 (a − 4) / (a + 2) ⎟ . ⎜ −1 ⎟ 0 ⎝ ⎠
方法（二）根据行列式性质进行反复的倍加运算：
λ −1 0 0 λ −1 0 0 λ
4 3 2 −1 0 0
0 0 −1 λ +1
=
λ −1 0 λ
0 4 0 3 0 −1 0
2
0 −1
0 0
0 −1 λ + λ + 2 λ +1 0 0 −1
λ
= 0 0
4 λ 3 + λ 2 + 2λ + 3 λ 2 + λ + 2 λ + 1
⎛ 2 1⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ AT = ⎜ ⎟, A = ⎜ ⎟,P = ⎜ ⎟ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝1 2 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 1⎞ T P −1AP = ⎜ ⎟ = B, B = ⎜ ⎟ ⎝1 3 ⎠ ⎝ −2 3 ⎠ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 4 0 ⎞ −1 T B + BT = ⎜ ⎟≠⎜ ⎟ = U ( A + A )U, ∀U ⎝ −1 6 ⎠ ⎝ 0 4 ⎠
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 2 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 ，
则 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 在空间直角坐标下表示的二次曲 面为 （A）单叶双曲面 （C）椭球面 （ （B）双叶双曲面 （C）柱面 ）
二、填空题.
因此
( β1 β 2 β3 )
= ( α1 α 2 ⎛ −2 + 299 1 − 299 ⎜ α 3 ) ⎜ −2 + 2100 1 − 2100 ⎜ 0 0 ⎝ 2 − 298 ⎞ ⎟ 2 − 299 ⎟， 0 ⎟ ⎠
所以
β1 = (−2 + 299 )α1 + ( −2 +α1 + (1 − 2100 ) α 2 , β 3 = (2 − 298 )α1 + ( 2 − 299 ) α 2 .
λ −1 0 0 λ −1 （13）行列式 0 0 λ
4 3 2 0 0 = _____________. −1 λ +1
三、解答题.
（20） （本题满分 11 分）
⎛ 1 −1 −1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 设矩阵 A = ⎜ 2 a 1 ⎟ , B = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ −1 1 a ⎠ ⎝ −a − 1
λ −1 0 0 λ −1 0 0 λ
4 3 2
0 0 −1 λ +1
λ −1 =λ 0 λ
3 2
0 −1 0 0 4 +1 −1 + 4 ( −1) λ −1 0 λ +1 0 λ −1
⎡ λ −1 0 ⎤ 3+1 −1 = λ ⎢λ + 3 ( −1) ⎥+4 λ −1 ⎦ ⎣ 2 λ +1 = λ 4 + λ 3 + 2λ 2 + 3λ + 4.
1 1⎞ ⎟ −1 −1⎟ 0 0⎟ ⎠
1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 可知解 X = ⎜ k1 − 1 k2 − 1⎟ （ k1 和 k2 为任意常数）. ⎜ −k − k2 ⎟ ⎝ 1 ⎠
若 a = −2 ，则 r ( A) = 2 < r ( A B ) = 3 ，无解.
（21） 【解析】本题考查利用特征值进行矩阵对角化 的方法，以及在计算矩阵幂中的应用. （I）需要将矩阵 A 对角化，由于
可以发现，答案（C）错误. （6） 【答案】 （B） 【解析】本题考查二次型化为规范形，同时涉及到 解析几何中的二次曲面.
⎛1 2 2⎞ ⎜ ⎟ 此二次型的矩阵为 ⎜ 2 1 2 ⎟ ， 其特征值分别 ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠
为 5, −1, −1 ，于是其规范形为 z12 − z2 2 − z3 2 . 从而方 程 z12 − z2 2 − z32 = 2 的标准方程为
⎛ z1 ⎞ ⎛ z2 ⎞ ⎛ z3 ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
由空间解析几何二次曲面的知识，可知上述方 程对应的曲面为双叶双曲面.
2
2
2
二、填空题：
（13） 【答案】 λ 4 + λ 3 + 2λ 2 + 3λ + 4 【解析】本题考查行列式计算的方法.
方法（一）按行或列展开的方法，此题连续按列展开：
从而
⎛ −2 + 299 1 − 299 ⎜ A99 = PΛ 99 P −1 = ⎜ −2 + 2100 1 − 2100 ⎜ 0 0 ⎝ 2 − 298 ⎞ ⎟ 2 − 299 ⎟ . 0 ⎟ ⎠
（II）由 B 2 = BA 可知
B100 = B 98 BA = B 97 B 2 A = B 97 BAA = " = BA99 .
2016 考研数学（一）真题解析 （线性代数）
一、选择题：
（5） 【答案】 （D） 【解析】本题考查矩阵的相似性，由于是选错 误答案，因此先排除正确答案. A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P ，使得 P -1AP = B . 于是 BT = ( P −1AP ) = PT AT (P −1 )T = PT AT (PT ) −1
⎞ ⎟ ⎟ ，当 a ⎟ −2 ⎠ 2 a
为何值时，方程 AX = B 无解、有唯一解、有无穷多 解？在有解时，求解此方程. （21） （本题满分 11 分）
⎛ 0 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 已知矩阵 A = ⎜ 2 −3 0 ⎟ ， ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
（I）求 A 99 （II）设 3 阶矩阵 B = (α1 , α 2 , α 3 ) 满足 B 2 = BA ， 记 B100 = (β1 , β 2 , β 3 ) 将 β1 , β 2 , β3 分别表示为 α1 , α 2 , α 3 的 线性组合.
（II）当 A = 0 时，即 a = 1 或 a = −2 ，分别讨论 若 a = 1 ，则 r ( A) = r ( A B ) = 2 < 3 ，有无穷多 组解，此时
⎛ 1 −1 −1 ⎜ ⎜0 3 3 ⎜0 0 0 ⎝
2 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ −3 −3 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎜ 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 0
0 −1 0 0 0 0 −1 0 = 0 0 0 −1 4 3 2 3 2 2 λ + λ + 2λ + 3λ + 4 λ + λ + 2λ + 3 λ + λ + 2 λ + 1 = λ 4 + λ 3 + 2λ 2 + 3λ + 4.
三、解答题：
（20） 【解析】本题考查利用系数矩阵和增广矩阵的 秩判定线性方程组的解. 注意到所给的矩阵方程相 当于两个线性方程组. 直接模仿线性方程组增广矩阵的知识进行讨论.
1 −1 λ E − A = −2 λ + 3 0 = λ (λ + 1)(λ + 2) ， λ 0 0
从而有三个不同的特征值 λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = −2 ，对 应的特征向量分别为
λ
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ η1 = ⎜ 2 ⎟ ,η2 = ⎜ 1 ⎟ ,η3 = ⎜ ⎜ 2 ⎟ . ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2016 考研数学（一）真题 （线性代数）
一、选择题.
（5）设 A, B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结 论错误的是 （ ） （B） A −1 与 B −1 相似
（A） AT 与 BT 相似
（C） A + AT 与 B + BT 相似 （D） A + A −1 与 B + B −1 相似 （6）设二次型
⎛ 1 −1 ( A B) = ⎜ ⎜2 a ⎜ −1 1 ⎝ ⎛ 1 −1 ⎜ → ⎜0 a + 2 ⎜0 0 ⎝
−1 1 a
2 2⎞ ⎟ a⎟ 1 −1 − a −2 ⎟ ⎠ −1 2 2 ⎞ ⎟ −3 a − 4 ⎟ 3 a −1 1− a 0 ⎟ ⎠
（I）当 A ≠ 0 ，即 a ≠ 1, a ≠ −2 时，方程有唯一 解. 此时，继续对增广矩阵做行初等变换可得