§布洛赫定理
今天我们这一节课要讲的内容是布洛赫定理。
经过前面的学习，我们知道，晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子系统，但晶体的许多电子过程仅与外层的价电子有关，而内层电子和原子核组成的原子实在一些近似条件下是保持稳定的，因此，为了了解晶体的性质必须首先了解晶体中电子的运动状态，而晶体中电子的运动状态可由薛定谔方程
()()H E ψψ=r r
(1) 的解来描述。
式中H 是电子的哈密顿算符，()ψr 是电子的波函数，E 是能量本征值。
这里H 可以表示为电子的动能与电子所受到的等效势场之和
()
2
22H V m
=-∇+r r (2) 其中第一部分表示电子的动能，第二部分表示电子所受到的等效势场。
对于理想晶体，原子排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场()V r 也具有周期性，
()()
n V V =+r r R
(3) 这里()n 112233,1,2,3m m m m ααα=++==R a a a a 为晶格周期矢量，它是原胞的三个基失1a ，2a 和3a 的线性组合。
这个式子表明将位置矢量从r 移到n +r R 处，等效势场具有相同的值。
从这里可以看出，晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，那么，一个在周期场中运动的电子，它的波函数应该具有什么样的特征呢？布洛赫定理就回答了这么一个问题。
布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，晶体中电子的波函数具有这样的特征 ()()n n i e ψψ⋅+=k R r R r (4) 其中k 为一矢量，我们称之为波失。
从这个式子我们可以看到，位置矢量为n +r R 处的波函数与位置矢量为r 处的波函数只相差一个位相因子n i e ⋅k R ，因为位相因子不影响波函数的模的大小，所以，在不同原胞的对应点上找到电子的几率是相同的，这也说明晶体中的电子是公有化的，它不再束缚于某一单个的原子，而是在整个晶体中运动。
根据布洛赫定理，我们还可以把晶体中电子的波函数写成
()()i e
u ψ⋅=k r r r (5)
其中()u r 具有与晶格相同的周期性，即 ()()n u u =+r r R .
我们把(5)式表达的波函数称之为布洛赫波函数，或者说布洛赫波，它描述的电子叫布洛赫电子。
我们看到，布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，其中i e ⋅k r 表明它是一个平面波，()u r 为平面波的振幅，它不是一个常数，而与位置有关，并且具有晶格周期性。
换句话说，在周期场中运动的电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波。
下面我们来证明布洛赫定理。
由于晶体具有平称对称性，因此我们引入平移算符αT ，当αT 作用于任意函数()f r 上时将使函数的自变量发生一个平移，从r 平移到α+r a ，
()()f f αα=+T r r a ，
显然如果αT 作用两次，就有
()()()
()()22m f f m ααααααααψψψ==+=+T T r r a r a T r T r
下面我们来看平移算符αT 与电子的哈密顿算符H 是否对易，我们知道如果我们能够证明0H H αα-=T T ，那么这两个算符就是对易的，我们首先把H αT 作用在一个任意函数()f r 上，即
()()()()()()()()222222222Hf V f m V f m V f H f m ααααααα+⎡⎤=-∇+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-∇+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-∇+=⎢⎥⎣⎦
r r a r T r T r r r a r a r T r T r
由于()f r 是一个任意函数，所以0H H αα-=T T ，即平移算符与晶体中电子的哈密顿算符是互相对易的。
根据量子力学可知，互相对易的算符必有共同的本征函数。
可见，哈密顿算符的本征函数()ψr 也是平移算符αT 的本征函数，即
()()()()()
H E αααψψψψλψ=⎧⎪⎨=+=⎪⎩T r a r r r r 其中αλ是平移算符αT 的本征值。
现在我们来求平移算符的本征值，我们首先引入周期性边界条件。
设沿基矢αa 方向的晶体原胞数目为αN ，根据周期性边界条件有()()ααψψ+=r N a r ，而
()()()()ααααααψψλψψ+===N N r N a T r r r ，得21i l e ααπαλ==N ，0,1,2,l α=±±，所
以2l i N e ααπαλ=，引入矢量l N β
ββ=k b ，这里1,2,3β=，1b ，2b 和3b 为倒格子基失并且满
足()()
220αβαβπαβπδαβ=⎧⎪⋅==⎨≠⎪⎩a b ，所以2l N αααπ⋅=k a ，于是有i e ααλ⋅=k a . 这样布洛赫定理的左边为 ()()()
()()()
n n m m i m i m T e e ααααααααψψψλψψψ⋅⋅+=+====k a k R r R r a r r r r
证毕.。