n0
VnC(k ' )ei(K' Gh )x
K'
＝E C(K ' )eik 'x
(3)
K'
将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积 分。并利用平面波的正交归一性
e dx＝L i ( K‘ K )x l
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到
K'
2K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,k
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0

该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢 的态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个
∴ E（k）=E(k+Gn)
可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
（2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k=0的中心反演对称性。
（3）E（k）具有与正晶格相同的对 称性。
倒格矢的态不进入方程（4）。
该结论也应适用于波函数 (k,x)。
因此波函数
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x K'
应当可写成
(k, x)＝ C(k Gn )ei(kGn )x
Gn
＝eiKx C(K Gn )eiGnx
Gn
与Bloch定理比较 （k ,x）＝u（k，x）eikx
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中
u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论：
1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na）
∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
(B)
比较（A）（B）二式，左右分别相等
∴ （k ,x+na）＝（k ,x）eikna
以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示 等价。
3．函数（k ,x）本身并不具有正 晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
§4－2布洛赫（Bloch）定理
求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程
2 2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0
2m
其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）
一．布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波.
即（以一维为例）
三． 布洛赫定理的一些重要推论
（1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K)
下面分别证明之。
∵ （k ,x）＝
C(K
G )ei( K Gn )x n
Gn
求和遍取所有允许的倒格矢
(k Gn' , x)＝
C(K
Gn'
G )ei( K Gn' Gn )x n
2. 布洛赫定理的另一种表示 （k ,x+na）＝（k ,x）eikna
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx
u（k，x）＝u（k ,x+na）
得：u（k，x）＝（k,x）e-ikx
(A)
u（k ,x+na）=（k ,x+na）e-ik(x+na)
= e-ikx [e-ikna （k ,x+na）]
Vn＝
1 a
a
i 2 nx
V ( x)e a dx
0
说明：
V0＝
1 a
a
V (x)dx＝V (x)
0
cons
0
∴
V ( x)＝
i 2 nx
Vne a
n0
V ( x)＝ VneiGn x
(1)
n0
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征
态――平面波eik•x展开
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x
需证明
u（K，x)＝ C(K Gn )eiGnx
Gn
=u(K,x+na)
∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m
eiGnna 1
u（K，x)＝ C(K Gn )eiGnx eiGnna
Gn
＝ C(K Gn )eiGn (xna) u(K, x na)
Gn
于是布洛赫定理得证。
∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x）
（k ,x＋na）≠ （k ,x） ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
讨论：波函数的物理意义
二．Bloch 定理的证明
1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适
当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级
数展开：
V ( x)＝
i 2 nx
Vne a
n
(2)
K'
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波 矢k’进行的。(讨论）
将（1）式和（2）式
V ( x)＝ VneiGn x
n0
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x K'
代入薛定谔方程
2 2 (k,x)＋E －V(x) (k, x)＝0
2m
得:
K'
2 K '2C(k') 2m
eik 'x＋
Gn
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝
C(K
G )e '' i(K Gn'' )x n
(k, x)
G''n
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
由薛定谔方程
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(k Gn' , x) 与 (k, x) 等价
^
^
H (k, r)＝H (k Gh, r)＝E(k Gh ) (k, r)