2n
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {an }是递增数列
a1 n an 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80得： 3 1 q
a1 2, q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3 , S9 , S 6成等差数列， 求证：a , a , a 成等差数列。 2 8 5 证明： S3 , S9 , S 6成等差数列
1 2
S6=189
1 . 2
，an=
S5=31/2
Sn=3n
(3)等比数列{ an=3 }
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和 1 1 1 2 n （x ) ( x 2 ) ... ( x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)
n
1 1 1 例1：求等比数列 ， ， ．．．的前8项的和。 2 4 8
18 1 / 2(1 ) n a1(1 q ) 2 Sn 1 q 1 1/ 2
1 1 解： a1 , q , n 8 2 2
1 Sn 1 8 2
课堂练习 1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3，q=2，n=6. (2)a1=8，q =
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
1 1 1 2 n (x ) (x ) ... (x ) y y2 yn
1 1 1 2 n (x x ... x ) ( ... ) n y y2 y
1 1 (1 ) n y x(1 x ) yn 1 1 x 1 y
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 a n q =a1+q(Sn-an) sn 1 q
当公比q 1时，Sn na1
n
a1 (1 q ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1
n 1
解：根据题意，每年销售量比上一年增
加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中
S3 S 6 2 S9
当q 1时，S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 S3 S 6 2 S9 q 1
由S3 S6 2S9 得
a1 (1 q ） a1 (1 q ） a1 (1 q ） 2 1 q 1 q 1 q
①
② ①
②
S64=1+2+4+8+…+262+263
2S64=2+4+8+16…+263+264
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1qn
an1 q 1 等比数列的定义： an
2通项公式： an a1q
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
a, G, b成等比 G ab G ab
2
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2 得到： 2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较.
an a1q
n 1
a1 an q (q 1) Sn 1 q . na (q 1) 1
a1 (1 q ) a1 anq (q 1) (q 1) Sn 1 q 或S n 1 q . na (q 1) na (q 1) 1 1
a1 1 q n sn 1 q
…②


证法二：
an a2 a3 q a1 a2 a n 1
a2 a3 an q a1 a2 an1
S n a1 a1 a n q q sn S n an 1 q
证法三：
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000; y2 5000 5000 10%
y3 5000(1 10%) 5000(1 10%) 10% 5000(1 10%)2
y4 5000(1 10%) ; .....
3
yn 5000(1 10%)
解： Sn 80, S2 n 6560 q 1
a1 (1 qn) (1) Sn 80 1 q 2n a ( 1 q ) S 1 6560 (2) 2n 1 q
1 q ( 2) (1)得： n 82 1 q
2n
1 q n 82 1 q 82 n 1 q

n 1 xx 1 x
n y 1 n 1 5) ( 4 3 5 ) (6 3 5 ) ... ( 2n 3 5 )
2
例3：设正项等比数列前 n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项 a1 与公比q均为正数，求该数列的 首项a1与公比q .
3
6
9
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q 4 2q7 a1 (q q 4) 2 a1 q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 2 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加 10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）