等比数列中，S3 7 , S6 63 ，求an。
2 2
李仲全
第六章 数列
等比数列的前n项和 公式的推导和应用
知识回顾：
（1）等比数列定义：
an q ( n 2, q 0) an 1
n1 a a q （2）等比数列通项公式： n 1 (a1 , q 0)
（3）等差数列的前n项和公式的推导方法： 倒序相加法
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨· 班· 达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说： 陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
64
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
深化对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公 式 S
当q 1时，
n
当q 1时，
Sn na1.
a1 an q 1 q
a1 (1 q n ) Sn 1 q
(1) a1 , an , q, S n 和各已知 a1 , n, q, Sn 三个可求第四个。
a 2 a1q a3 a 2q a 4 a 3q an an 1q
观察上式你能想出如何表示前n项和吗？
公式的推导
a 2 a3 a 4 ...... an q(a1 a 2 a3 ...... an 1)
即
Sn a1 q( Sn an)
1 1 1 1 求数列1 2 , 2 4 , 3 8 , 4 16 , 的前n项的和.
反思
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和 1 1 1 （ 1 ) (2 2 ) (n n )(n N x 0） x x x
归纳总结、内化知识
小 结
当q 1时，
(2)注意求和公式是q ，不要和通项公 式中的q n 1混淆。
n
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求 出数列的前8项的和。
3 因为a 1 1 ，q 3，所以等比数列的前 解： 1 n项和公式为：
第1格： 第2格： 第3格： 第4格： ……
1 2
22
2
3
第63格： 2 62 第64格：
2 3 62 63
2
63
1 2 2 2 2 2 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？
诱发探究 设等比数列an的公比为q，由等比数列的概念
知 an 1
qa n ，所以有
1 [1 (3) n ] 1 (3) n Sn 1 (3) 4
故
8 1 （ 3 ） S8 1640 4
课堂练习 1．求等比数列中，
1 （1）已知 a1 4 , q ，求S10。 2 （2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
Sn qSn a1 qan
把上面（n-1）个式子的左右两边相加，得
na1 q 1 n n a ( 1 q ) 1 Sn当 a 1 ( 1 q ) q 1时， S n q 11 q 1 q q 1 时，S n na1 当
（错位相减法） 公式证明
Sn a1 a1q a1q a1q
2
n1

两边同乘以q，得
qSn a1q a1q a1q
2
n1
a1q
n

两式相减，得
a1(1 q ) Sn (q 1) 1 q
n
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 2 2 2 2 ?
2 3 62 63
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
64 2S64 2 2 2 2 2
2 3 63
S64 2 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
1、等比数列前n项和：
a1 an q Sn 1 q
a1 (1 q n ) Sn 1 q
Sn na1. 当q 1时，
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。 3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
作业布置: 必做： 课本P17-18 选做：
练习6.3.3 1.2题
解 : （ 1） （ 2）
1 10 4[1 ( ) ] a1 (1 q10 ) 1023 2 S10 1 1 q 128 1 2
a1 ak q 1 243 3 Sk 364 1 q 1 3
拓展训练 、深化认识
1 1 1 1 1 S 1 2 3 4 (n n ) 解: n 2 4 8 16 2 1 1 1 1 (1 ) (2 ) (3 ) (n n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 (1 2 3 n) ( n ) 2 4 8 2 1 1 n n(n 1) 2 [1 ( 2 ) ] n 2 n 1 1 n 1 2 2 2 1 2