解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
证明： S3 , S9 , S6成等差数列
S3 S6 2S9
当q 1时，S3 3a1, S6 6a1, S9 9a1 S3 S6 2S9 q 1
由S3 S6 2S9得
a1(1 q3） a1(1 q6） 2 a1(1 q9）
1 q
1 q
例3：设正项等比数列前n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项a1 与公比q均为正数，求该数列的首项a1与公比q.
解： Sn 80, S2n 6560 q 1
Sn S2n
a1(1 qn) 1 q
a1(1 q 2n 1 q
80 ) 6560
错位相销法；比例的性质。
(2)等比数列前n项和公式:
(1)a1=3，q=2，n=6.
(2)a1=8，q
=1
2
，an=
1 2
.
(3)等比数列{ an=3 }
S6=189 S5=31/2 Sn=3n
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和
（x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )
y
y2
yn
(x 0, x 1, y 1)
1 q
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q4 2q7
a1(q q4) 2a1q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 285
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使
总销售量达到30000台（保留到个位） 分析：销售量与年份之间的关系如下
求lgx+lg2x+lg3x+…+ lg10x. 2. 已知数列{ an }的前n项和为Sn=3n+1-3，
求证{ an }为等比数列.
证明：
an
Sn S1
Sn1
n2 n1
an1 an
2 3n1 2 3n
3
an
2 3n
6
an
2 3n
∴{ an }为等比数列.
课堂小结：
(1)等比数列前n项和的推导方法：
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
1)或Sn
a1 anq 1q
(q
1) .
na1(q 1)
na1(q 1)
例1：求等比数列1 ，1 ，1 ．．．的前8项的和。 248
解：
a1
1 2
,
q
Sn a1(1 qn )
1,n 2
1/
8
2(1
18 2
)
1 q
11/ 2
Sn
1
1 28
课堂练习
1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn
S64=1+2+4+8+…+262+263 ①
2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an 公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn …②
① - ②得：
Sn-qSn=a1-a1qn
sn
a1 1 qn 1q
证法二：
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2 a3 an q a1 a2 an1
Sn a1 Sn an
q sn
a1 anq 1q
证法三： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
y1 5000; y2 5000 500010%
y3 5000(110%) 5000(110%)10% 5000(110%)2
y4 5000(110%)3; ..... yn 5000(110%)n1
解：根据题意，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中 a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000, 于是得到:
5000(1 1.1n ) 30000. 1 1.1
整理后，得 1.1n=1.6 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6 用计算器算得
n lg1.6 0.20 （ 5 年） lg1.1 0.041
练习：
某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均 每年的产量比上一年增加10%，那么从第 一年起，约几年内可使总产量达到30万吨 （保留到个位）？
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.