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1.5.3《定积分的概念》导学案
编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间:2014.5.13
班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿
【学习目标】
1.了解定积分的概念和性质，能用定积分定义求简单的定积分；
2.理解定积分的几何意义．
【学习重难点】
重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分．
难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
【知识链接】：
1. 回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的 “四步曲”为：
2. 求曲边梯形面积的公式 求变速直线运动路程的公式
【学习过程】：知识点一：定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（x ∆=_________），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：
11()()n n n i i i i b a S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的_________。

记为：S = ____________ ，其中()f x 称为_________，x 叫作_________，[,]a b 为积分区间，b 叫作_________，a 叫作积分下限。

说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b
a f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a
b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b
i a n i b a f x dx f n
ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程2
1()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()b
a W F r dr =⎰ 考考你：（1）()
b a f x dx ⎰ ()b
a f t dt ⎰（大于，小于，等于），这说明定积分与积分变量的记法 （有关，无关）
（2）特例：()a
a f x dx ⎰＝
知识点二：定积分的几何意义
问题1：你能说出定积分的几何意义吗？
问题2：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示右图中阴影部分的面积S 吗？
问题3：定积分的性质：
(1) ()b a kf x dx =⎰ (k 为常
数)；
(2) 12[()()]b
a f x f x dx ±=⎰ ；
(3) ()b a f x dx =⎰
（其中a c b <<）.
问题4：你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗？
【例题精析】：例1．利用定积分的定义，计算
dx x ⎰102的值.
【小试牛刀】：
1.计算
230x dx ⎰的值,并从几何上解释这个值表示什么.
2.试用定积分的几何意义说明
0⎰的大小.
3.利用定积分的定义，证明
1b a dx b a =-⎰，其中,a b 均为常数且a b <.
4.求3
33)x dx --⎰的值。

【课后作业】
1.计算下列定积分,并从几何上解释这些值分别表示什么.
（1）031x dx -⎰； （2）131x dx -⎰； （3）2
31x dx -⎰；
2.如图描述了一物体运动速度v （单位：m s ）的变化.请对这一物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程进行估计.
3.一个物体从距离地面150m 的高空自由下
落，加速度为29.81/m s .（1）写出速度作为时间的函数的表达式；（2）将时
间段[0,4]平均分成8等份，计算该物体下落的前4s 经过的距离的过剩近似
值（每个i ξ均取为小区间的右端点）与过剩近似值（每个i
ξ均取为小区间的左端点）.（3）试用定积分表示该物体前4s 内下落的距离s ，并求出s 的精确值.
【课后反思】本节课我还有哪些疑惑？
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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