东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题编号：601 试题名称：数学分析
一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.
1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.
2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.
3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1
n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.
二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.
5.求极限21lim[ln(1)]x x x x
→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n
→∞+++ . 7.求幂级数143n
n x n ∞
=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.
9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰
,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.
10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线
(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.
三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.
11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：
（1）极限lim n n x →∞
存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.
12.一个函数f ：
[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.
证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.
13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.
若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x b
f x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？
14.设1
111n n
n I x dx +=+⎰,求证：
（1）0,n I n →→∞；
（2）极限lim n n nI →∞
存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且
1
0(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：
（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；
（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξ
ξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n
∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),
x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.
18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。