五、图示刚架，AB 杆及 CD 杆的线刚度为 i，BC 杆的线刚度为 2i，设固定端 D 向右移动Δ，试绘弯矩 图。（用位移法求解此题）（25 分）
l/2 l/2 l l
(a) 2i
B
i
(b) C
i
(c)
4i
3Δ i/2 l 3Δ i/2 l
3Δ i/2 l
3Δ i/2 l
i
A l
D Δ Δ/2
9Δ i/4l
。
(a)
M1
A
θΑ
(b)
M2 M1 θΒ B
EI l
EI
ϕΑ
l
解：图
a
中，由已知条件θ A
=
l 3EI
(M1
−
M2 2
) ，容易对比得出θ B
=
l 3EI
(M 2
−
M1 ) 2
当θB＝B 0，即
M
＝
2
M 2
1
时，a、b两图完全相同，带入θA可得θ A
=
l 3EI
(M1
−
M1 )＝ M1l 4 4EI
天津大学

研究生院 2007 年招收硕士生入学考试
一、判断题（将判断结果填入括弧：以 O 表示正确，以 X 表示错误）（本大题分 5 小题，每小题 5 分， 共 25 分）
1、 图示桁架，各杆 EA 为常数，仅 AB 杆有轴力，其他杆的轴力为零。（ X ）
C
A FP
a/2
a/2
FP B
D
a
a
a
解：一对平衡力作用在 ACBD 超静定部分，则整个 ACBD 部分都产生内力。若本题桁架为静定，则 只有 AB 杆受力。
-5 0C
+15 0C
M图
(a)
(b)
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1．矩形截面梁，在力偶和温度变化共同作用下，线膨胀系数为α，EI 为常数。欲使
ΔCV=0，所以M0 应为
。
M0
+t 0C C
M0
-t 0 C
b
l/2
l/2
2．图示交叉体系，在 A、E 两点简支，沿 LM 固定。已知 1kN 竖向荷载作用于 H 点时，各结点 竖向位移是：B、D 为 0.05cm，F、C、K 为 0.06cm，G、J 为 0.1cm，H 为 1.2cm。现有 10kN 竖向
δ＝ 1 × 1 × h × h × h + 1 × ⎜⎛ h × h × 0 + 1 × h × h × h × 1 ⎟⎞ + 1 × ⎜⎛ 3h × h × 0 + 1 × h × h × h × 1 ⎟⎞
EI3 2 2 2 3 EI2 ⎝ 2
2
4 3 ⎠ EI1 ⎝ 2
2
4 3⎠
＝ h3 4EI1
。
4、如图所示为一振动台的分析模型，振动台重 W，EI=∞，忽略阻尼，由刚度为 k 的弹簧支承。连接刚
度 为 k′ 的 弹 簧 A 端 位 移 为 esinθt ， 设 振 动 台 的 竖 向 动 位 移 为 y ， 则 振 动 台 的 运 动 方 程
为
。振动台稳态振动的振幅为
。（只考虑振动台的竖向振动）。
k
k1 k2
kn
k1 k2
kn
⇒ T 2 = T12 + T22 + L + Tn2 ⇒ T = T12 + T22 + L + Tn2
k1
k1
k2
m
kn
m
二、填空题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题共 4 小题，共 25 分）
1、 图示静定梁，EI为常数，已知在荷载FP作用下A截面逆时针转了 0.001 弧度，此时铰C两侧的相对
δ11
=
l1 3EI
+
l2 3EI
,
δ 21
= δ12
=
l2 6EI
,
δ 22
=
l2 3EI
+
l3 3EI
；
Δ 1P
=
FP l1 2 16EI
+
FPl2 2 16EI
,
Δ2P
=
FPl2 2 16EI
+
FP l3 2 24EI
又已知，
X1
=
X2
=
−
FP l3 8
，
带入力法方程
⎩⎨⎧δδ2111
X1 X1
l2/2 F P
l3/2 F P
l1
l2
l3
(c)
X 1=1
(b) (d)
FP
FP
FP
X1
X2
基本体系
X 2=1
1 M1 图
(e) FP
FP
M2 图 1
FP FPl3/8
FP
FP
F Pl1/4
F Pl2 /4 MP图
3F Pl3 /16
M图
解：取基本体系如图 b，画出 M 1 、 M 2 、 M P 图，求系数：
Fp M
EI 2
EI 2
q EI 3
EI 1
q EI 1
EI 3
l
图a
2．图示体系是几何不变体系，且无多余约束。（
l
图b
）
h
h h
3．单位荷载法只适用于静定结构。（ X ） 4．设ω和ωD 分别是同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω和ωD 的关系为ω大于 ωD。（ O ） 5．机动法做静定结构影响线的依据是刚体体系的虚位移原理。（ ） 6．图 a 所示梁在温度变化时的弯矩图形状如图 b 所示。（ O ）
答案：振动方程θ&& + 16EAθ = 0 ；自振频率ω = 4 EA
9ml 3
3 ml 3
六．若使图 a 梁中 C 截面弯矩为零，EI 为常数。应如何设计弹簧刚度 k？（用位移法求解）（本题 20 分）
(a)
q
q
A
BA
B
kC
l/2
l/2
l
(b) q
A kC Δ1
基本体系
(c) ql2/48
BA
(a) A
D FP
(b) 0
t 0C
2
0
a
0
C
B
FP
a
-1
1 N图
解：将引起位移的因素分解为荷载和温度变化的单独作用。荷载作用引起的 C 点竖向位移求解
过程略，求出 Δ CV1
=
2
2+ EA
1
FP
a
。
∑ ∫ 再求温度变化引起的位移： ΔCV 2 = αt0 Nds = αt 2 × 2a
C 点竖向位移 Δ CV
（2）同理可绘出FQF的影响线，见图d。 四、图示连续梁，EI为常数，梁全长为 3l，当在各跨中点承受集中荷载FP，在D点作用有集中力偶
FPl3/8 时。已知 M B
=
− FPl3 8
，MC
=
−
FP l3 8
（弯矩以下侧纤维受拉为正），求各跨长度。（用力法求解
此题）（25 分）
(a) l1/2 F P
= Δ CV 1 + Δ CV 2
=
2
2+ EA
1
FP
a
+
2αta
五．图示体系处于自由振动状态。忽略阻尼， m 为横梁的质量密度。
(a) m
(b) m
EI=∞
EA
EI=∞
k=2EA/l
l/2
l
l/2
1．列运动方程； 2．求自振频率。 （本题 30 分） 提示：将图 a 化为图 b，剩余求解方法同例。
(a) m
(b) 1m
h/2
h
EI 3
EI 4 =∞
EI 2
EI 2
EI 4 =∞
EI 1
EI 1
EI 3
EI 4=∞
EI 2
EI 2
EI 4=∞
EI 1
EI 1
1 h/4
h/4
EI 4=∞
h/2
h/4
h/4
EI 4=∞ h/4
h/4
h/2
h/4 h/2
h/4
EI 4=∞
EI 2
EI 2
EI 4=∞
kbθl
l
EI=∞
EI=∞
θ
A
A
ka
ka
ka θ
解：动平衡受力图见图 b。
∑MA
=
0
⇒
kbθl × l
+ kaθ
− (−mlθ&&) × l
=
0 ⇒ θ&& +
ka + kbl2 ml 2
θ
=
0
自振频率ω＝ ka + kbl 2 ml 2
三．直径为 4m 的等截面圆环，弯曲刚度 E1I 为常数。沿直径的竖向拉杆，拉伸刚度为 E2A。圆环受 一对沿直径的水平方向大小为 10kN 的力作用。试求拉杆的轴力。（本题 30 分）
3．图示结构在可动均布荷载 20kN/m 作用下 K 截面的最大弯矩 Mkmax 为
。
20kN/m
任意长度 K
1m
4m
8m
2m 6m
4．图中ka为支座A的转动刚度，kb为支座B的弹簧刚度。不计杆重。则图示体系的自振频率为
( ) kakb
。
m ka + kbl2
(a) mB
kb
(b)
-mlθ m kb
∫ ∫ [ ] δ11