湖北省宜昌市葛洲坝中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题考试时间：2020年1月一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果幂函数()f x 的图象经过点(2,2),则(4)f 的值等于（ ）A ．16B ．2C ．116D ．122．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则(2)f -=（ ）A ．2B ．6C ．－2D ．－6 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．()()22()f x x g x x ==， B ．f （x ）=x ，g （x ）=33xC ．f （x ）=1，g （x ）=x 0D ．()()2111x f x x g x x -=+=-，4．函数26()log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()3,4 D ．()4,+∞5．设1ln 2a =，lg 3b =，21)51(-=c则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<6．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则()312sin sin 2ππθθ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭( ) A ．sin cos θθ- B ．cos sin θθ- C ．()sin cos θθ±- D ．sin cos θθ+ 7． 函数()()23log 6f x x x=--的单调减区间为（ ）A ．)1,2⎡-+∞⎢⎣ B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．)1,22⎡-⎢⎣ D ．13,2⎛⎤-- ⎥⎦⎝8．如下图在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，EF 2FD =，若AF xAB yAD =+，则3x 6y (+= )A ．76B ．76- C ．6- D ．69．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ） A ．6.33平方寸 B ．6.35平方寸 C ．6.37平方寸 D ．6.39平方寸 10．函数22()log f x x x=+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．-∞-+∞(,3)(1,)C ．(),111)3(,--- D ．(1,1)(1,3)-11．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22()f x x x x x x ⎧<⎪⎨-+>=⎪⎩，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围是（ ）.A ．52,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．2110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,4)D ．103,3⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12 B ．2 C ．12或23 D ．23或2 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数12,0()(1),0x x f x f x x +=+<⎧⎪⎨⎪⎩≥，则3()2f -= .14．已知tan 3α=,则2212sin cos sin cos αααα+-的值是_______________.15．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________16．给出下列命题，其中正确的命题序号是______________①将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位长度，得到函数()cos 2y x =的图像；②若ABC ∆为锐角三角形，则B A cos sin >③8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴；④函数||sin |sin |x x y +=的周期为π2 三、解答题（本题共6题，共70分） 17．（本题满分10分）计算下列各式 (1))3cos(47tan )625cos(38sinππππ-+--- (2)81log 25lg 5lg 2lg 2lg 23log -22⋅-+⋅+ 18．（本题满分12分）记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合A ，函数()(3)(1)g x x x =--B ,集合{21}C x a x a =-<<+．（Ⅰ）求集合A B ,BR C A ；（Ⅱ）若()A B C =∅，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少。

20．（本题满分12分）已知函数()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）若点(1,3)P 在角α的终边上,求sin α和6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合；（3）若对任意实数,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.21．（本题满分12分）如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)2πωϕ>><<A 的部分图像，,M N 是它与x 轴的两个不同交点，D 是,M N 之间的最高点且横坐标为4π，点(0,1)F 是线段DM 的中点. （1）求函数()f x 的解析式及)(x f 的单调增区间； （2）若5[,]1212x ππ∈-时，函数()()()21h x fx af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.22．（本题满分12分）已知函数1212-1)()(-++=x xx f x g ，其中4()lg 4x f x x -=+，其中(4,4)x ∈-.（I ）判断并证明函数)(x f 在(4,4)-上的单调性；（II ）求)121()21(++-g g 的值 （III ）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由.参考答案1～5 B C B C A 6～10 A C D A C 11．A 【详解】由题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02()147,22x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，所以当0x <时，22log (),20()147,22x x f x x x x ⎧---<⎪=⎨---<-⎪⎩，因为函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，所以函数()y f x =与函数y a =的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图， 不妨设123456x x x x x x <<<<<，由图知12,x x 关于直线4x =-对称，56,x x 关于直线4x =对称， 所以12560x x x x +++=，而2324log ,log x a x a =-=， 所以2324234log log log 0x x x x +==，所以341x x =，所以343422x x x x +=，取等号的条件为34x x =， 因为等号取不到，所以342x x +>， 又当1a =时，341,22x x ==，所以3415222x x +<+=， 所以12345652,2x x x x x x ⎛⎫+++++∈ ⎪⎝⎭. 故选：A12．D因为222T ππω=≥⨯，则02ω<≤；又因为()()0()2ππ-==-f f f ，则由(0)()f f π=-可知()f x 得一条对称轴为2x π=-，又因为()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，则由(0)()02f f π+=可知()f x 的一个对称中心为(,0)4π；若2x π=-与(,0)4π是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则()442T ππ=--，则3T π=，所以223T πω==；若2x π=-与(,0)4π不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则3()442T ππ=--，则T π=，所以22Tπω==.13．22 14．2 15．[1,0)- 16．②③ 17．(1) 0 (2)2 18．(1)3(,1](,)2AB =-∞+∞, A3(,3)2RB = (2) 13a -≤试题分析：(1)由2x-3>0得3(,)2A =+∞， （1分） 由(3)(1)0x x --≥得(,1][3,)B =-∞+∞，（2分）所以3(,1](,)2A B =-∞+∞,（4分） A 3(,3)2R B = （6分） 评分的时候注意区间的开闭(2)当C =∅时，应有121,3a a a -+∴-≥≤，（8分）当C ≠∅时，应有2131,221a a a a a -⎧⎪⎪+∈∅⎨⎪-<+⎪⎩≥≤得，（10分） 所以a 的取值范围为13a -≤ （12分）.19、（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入)0(4>=x xy ； 将()1,1 ()4,2代入ay kx =，得1,42,ak k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B 芯片的毛收入0)y x =>.2）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x-千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024x fx -==)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.20、解：（1）sinα==,1cos2α==,2sin2cos162fππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）,1)(≥xf则21)3sin(≥-πxπππππkxk265326+≤-≤+]267,22[ππππkkx++∈（3）1->m21．（1）()2sin()4f x xπ=+，其增区间为5[,2)4ππ；（2）32a=（1）由题：函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,0)2πωϕ>><<A点()0,1F是线段DM的中点，所以(,2),(,0)44D Mππ-，周期242Tππω=⨯=，所以2,1Aω==，()2sin()244fππϕ=+=，2,42k k Zππϕπ+=+∈2,4k k Zπϕπ=+∈，4πϕ=所以()2sin()4f x xπ=+，令22,242k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，得：322,44k x k k Zππππ-≤≤+∈所以()f x的增区间为3[2,2],44k k k Zππππ-+∈（2）由题：5[,]1212xππ∈-，则21[,],sin()[,1],()[1,2]46342x x f xππππ+∈+∈∈，令[]()1,2t f x =∈得到2()()1h x g t t at ==-+，[]1,2t ∈，()g t 对称轴为2a t =， 当12a ≤时，即2a ≤，min 13()(1),22g t g a ===； 当122a <<时，即24a <<，2min 1()()1,242a a g t g a ==-+==； 当22a ≥时，即4a ≥，min 19()(2),24g t g a ===（舍去） 综上：32a =22、详解： （I ）∵()f x 在()4,4-上为减函数.证明：任取()12,4,4x x ∈-且12x x <， 则()()12121244lglg 44x x f x f x x x ---=-++ 121244lg44x x x x -+=⨯+- ()()21121212164lg 164x x x x x x x x +--=+--， ∵()2112164x x x x +-- ()21121640x x x x >--->， ∴()()211212121641164x x x x x x x x +-->+--，得()()120f x f x ->，得到()()12f x f x >， ∴()f x 在()4,4-上为减函数； （II ）()()44lglg 44x xf x f x x x+--==-=--+，∴()f x 是奇函数同理可证.xx2121+-为奇函数所以)121()21(++-g g 的值为2-（III ）∵()()22cos cos f k f kθθ-≥-- ()22cos f kθ=-，∵()f x 在()4,4-上为减函数，∴22220444cos 4cos k k cos k k cos k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立 由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得：22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立，令2211cos cos cos 42y θθθ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∵[]cos 1,1θ∈-，∴12,4y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-.。