2．集合间的基本关系张长印 学习目标1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．会求给定集合的子集． 3．了解空集的含义． 一、夯实基础 基础梳理1．子集、集合相等及真子集． （1）子集（2）集合相等如果集合A 是集合B 的__________（A B ⊆），3一集合B 是集合A 的__________()B A ⊆，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与2集合B 相等，记作__________． （3）真子集2．空集（1）定义：不含任何__________的集合叫做空集，记为∅． （2）规定：空集是任何集合的__________，即A ∅⊆．3．题型分析（1）集合间关系的判断；（2）两集合相等；（3）集合间的关系及应用． 基础达标1．以下式子中，正确的个数为（ ）． ①{}{}1331-=-，，；②{}012∅∈，，；③0∈∅；④{}00Ü；⑤{}0∅Ü． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设{}4M x x =∈<R ，a = ）． A ．a M ⊆B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ⊆3．满足条件{}{}12123445A ⊆，，，，，，Ü的集合A 的个数是__________．4．（1）设x ，y ∈R ，(){}A x y y x ==，，()1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，，则A 与B 的关系为__________．（2）{}2A a a =-≤，{}246B y y x x ==---，则A 与B 的关系为__________． 5．设{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A 真包含于B ，则a 的取值范围是__________． 二、学习指引自主探究1．根据子集的定义，解决下列问题：（1）写出*N ，N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用Venn 图表示；（2）判断正误： ①空集没有子集． （ ） ②空集是任何一个集合的真子集． （ ） ③任一集合必有两个或两个以上子集． （ ） ④若B A ⊆，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B ． （ ） 2．符号“∈”与“⊆”有何区别与联系？ 3．（1）“A 包含于B ”等价于“对于任意x A ∈，都有x B ∈”，那么“A 不包含于B ”的等价条件是什么？若A B ⊆，则A 是由B 中的部分元素所组成的，这种说法对叶绿素？ （2）如果要你证明A B =或证明A B Ü，你的思路是什么？（3）若{}21A x x k k ==+∈Z ，，{}41B x x k k ==±∈Z ，，判断A 、B 是否相等并说明理由．4．思维拓展：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．．．．（简称归纳）． 请分别写出下列集合()112A i n =，，，的所有子集，写出i A 的子集个数，并归纳推理出n =……结论：{}12n n A a a a =，，，的子集个数为__________．你能否说出其中的道理？ 案例分析1．判断下列关系是否正确：（1）{}{}112∈，；（2）{}{}1212⊆，，；（3）已知{}M x x x =∈R ≥，则πM ∈． 【答案】（2）（3）正确，（1）错误． 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）． A ．{}33x x += B ．(){}22x y y x x y =-∈R ，，， C ．{}20x x ≤D ．{}210x x x x -+=∈R ，【答案】D ．【解析】选项A 的集合{}0=；选项B 的集合(){}00=，；选项C 的集合{}0=；选项D 集合中的方程210x x -+=无实数根，所以为空集．3．已知{}12A =，，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的值． 【解析】当0a =时，B =∅，满足B A ⊆．当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆得11a =或12a =，即1a =或12a =．综上所述，0a =或1或12． 说明：对于B A ⊆，不可忘记B 可能为空集． 4．已知集合{}14A x x =<≤，{}B x x a =<， （1）若A B ⊆不成立，求实数a 的取值集合；（2）设{}4U x x =<，若集合B U ⊆，且B 与A 有公共元素．求实数a 的取值集合． 【解析】（1）若A B ⊆成立，则4a ≥，所以若A B ⊆不成立，则实数4a <，故实数a 的取值集合{}4a a <．（2）因为B U ⊆，所以4a ≤，又因为B 与A 有公共元素，所以1a >． 故实数a 的取取值集合为{}14a a <≤， 说明：可在数轴上画出这些集合并观察． 三、能力提升 能力闯关1．设{}35P x x =<≤，{}12Q x m x m =-+≤≤，若P Q ⊆，则实数m 的取值范围是__________．2．（1）已知{}01234B =，，，，，{}0248C =，，，,A B ⊆，A C ⊆，写出所有满足条件的集合A ．3．集合{}2320A x x x =-+=，{}220B x x mx =-+=，若A B ⊆，讨论实数m 取值情况． 拓展迁移4．设P ，Q 是两个集合，定义集合{}P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}02P x x =<<，{}13Q x x =<<，那么P Q -等于（ ）． A ．{}01x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}23x x <≤5．集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+-≤≤，（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围． （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数．（3）当x ∈R 时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围． 挑战极限6．已知{}1436S x x m n m n ==+∈Z ，，，{}2T x x k k ==∈Z ，，求证： （1）2S ∈；（2）S T =．课程小结1．集合分类：有限集，无限集，空集．2．子集的概念及有关符号和性质是本节课学习的重点． 3．对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任．何．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A B =． 4．n 元集合的子集数为2n ；非空子集数为21n -；真子集数为21n -，非空真子集数为22n -． 想一想1．若A B =，则A B ⊆，反之，成立吗？若A B Ü，则A B ⊆，反之成立吗？ 2．正整数集*N 是自然数集N 的子集吗？ 3．{}0与∂相同吗？2．集合间的基本关系基础梳理1．（1）．（2）子集、子集、．（3）子集、至少2．元素、子集基础达标1．．【解析】①⑤正确．说明：空集是任何非空集合的真子集．是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，所以，不能写成．2．．【解析】∵，∴，所以成立．3．．【解析】设去掉元素后形成的集合为，则问题等价于：求满足条件的集合的个数，即求的非空子集数，显然是个．4．（1）．（2）．【解析】（1）在中，，而，故．（2），所以，故．5．．【解析】将集合在数轴上表示出来，不难知道，这里尤其要注意这种极端情况．自主探究1．（1）（如右图）；（2）只有④是正确的，其余全错．对于①、②来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于③来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于④来讲，当时必有，则时也必有．2．元素与集合之间用属于关系，用符号“”表达；集合与集合之间用包含关系，用符号“”表达．在判断包含关系时，要考察其中一个集合的元素与另一个集合的属于关系．3．【解析】（1）“不包含于”等价于“存在，但”．“若，则是由中的部分元素所组成的”这种说法是不正确的，因为可能是空集，也可能是．（2）证明，就是证明且．要证明“”，就是证明“，且存在，但”（3），下面证明．任取，则，当时．；当时，．∴．任取，则或，均有∴．综上可知，．4．思维拓展：【答案】．【解析】共有个子集：；共有个子集：；共有个子集：．猜想：的子集个数为．理由：集合中每增加一个元素，其子集数恰好增加一倍，这是因为将原有的每一个子集添加新元素，恰好得到所有新增加的子集，子集数正好增加一倍．结论：元集合的子集个数为．能力闯关1．．【解析】设，则∴∴．2．【解析】（1）由题，．由知集合为非空集合，且其元素全属于，即有满足条件的集合为：．（2）因为，，且，所以，即满足条件的集合为：．说明：将问题等价转化为求的公共元素组成集合的子集．3．【解析】，∵，∴或或或．①若，则；②若，则有两个相等的根，∴；③若，则有等根，∴；④若，则有两个根，∴；综上：或．拓展迁移4．．【解析】在数轴上画出集合所表示的数集范围和集合表示的数集范围，由定义，容易知道．5．【解析】（1）当即时，，满足．当即时，要使成立，需，所以．综上可得时，有．（2）当时，所以，的非空真子集个数为：．（3）①若，即，得时满足条件．②若，即，则要满足条件有：或，所以．综上可得或．说明：（1）不应忽略；（2）找中的元素；（3）分类讨论思想的运用．挑战极限6．【解析】（1）∵，∴．（2）任取，则存在，使，所以，所以．再任取，则存在，使得，所以，所以．故且同时成立，于是．想一想1．不成立，不成立．2是．3．不同．。