√
dy dx dy
= =
a12 +
∆ ,
a11√
a12 −
∆ ,
(特征线方程)
dx
a11
其中∆ = a212 − a11a12. (2.1.7)的解称为(2.1.1)的特征线. 对∆的符号分情况讨论.
1) ∆ > 0
(2.1.6)有两族不同的实的解曲线ϕ1(x, y) = C1, ϕ2(x, y) = C2, 取
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
有A11 = A22 ≡ 0且A12 ̸= 0(否则△ = 0). 由(2.1.4)可得
2A12uξη + A1uξ + B1uη + Cu + F = 0
因为A12 ̸= 0则
uξη = A2uξ + B2uη + C2u + F2,
称为双曲型方程的第一标准形式. 令
y ( ( y)
) 2y
y2
2y
uxx
=
−
x2
uξξ (
− x2
+ uξη · 0 )
+ x3 uξ = x4 uξξ + x3 uξ
y
1
1
y
y
1
uxy
=−
x2(
uξξ
·
x
+ uξη )
− x2 uξ = − x3 uξξ − x2 uξη − x2 uξ
1
= − x uξξ · x + uξη + uηξ · x + uηη = x2 uξξ + x uξη + uηη
则
A11 = A22,
A12 = 0.
由(2.1.4)可得, uξξ + uηη = A5uξ + B5uη + C5u + F5(椭圆方程的标准形式)则A5 = B5 = C5 = F5 = 0 时, 为Laplace方程. A5 = B5 = C5 = 0 时, 为Poisson 方程.
§2.1.2 方程的分类
利用 dy
dx
=
p(x, y) ± iq(x, y)解出(2.1.6)的两个复共轭的通积分ϕ1(x, y) = α + iβ = c1, ϕ2(x, y) = α − iβ =
c2其中α = α(x, y), β = β(x, y)为x, y的实函数. 取变换
ξ = α(x, y),
η = β(x, y),
A12 A22
= =
a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2
+
a22 ξy ηy ,
A1 = · · ·,
B1 C1
= =
· ·
· ·
·, ·
希望选取一个变换(2.1.2), 使(2.1.4) 有比(2.1.1) 更简单的形式. 注意到A11与A22有相同
的形式, 若能解出
a11ϕ2x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ2y = 0
(2.1.5)
的两个线性无关解ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), 就取
ξ = ϕ1(x, y),
η = ϕ2(x, y),
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简
便能保证A11 = A22 ≡ 0. 下面求解(2.1.5).假设ϕ2x + ϕ2y ̸= 0, 不妨设ϕy ̸= 0, 则(2.1.5) 等价于
坐标系中, 方程的高阶导数项具有三类方程中之一的形式.
非奇异变换: 即自变量变换
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),
(2.1.2)
5
6
第二章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型
的雅可比(Jacobi) 行列式
∂(ξ, η)
J=
=
ξx
ξy
̸= 0.
∂(x, y)
ηx ηy (x0,y0)
=uξξξy2 + 2uξηξyηy + uηηηy2 + uξξyy + uηηyy
将其代入(2.1.1), 有
A11uξξ + 2A12uξη + A22uηη + A1uξ + B1uη + C1u + F = 0,
(2.1.4)
其中 及
A11 = a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2,
+
y2 b2
=
1
受此启发, 本章将证明 (记 ∆ = a212 − a11a22)
∆>0 ∆=0 ∆<0
双曲型方程 抛物型方程 椭圆型方程
如 utt = a2uxx + f 如 ut = a2uxx + f 如 uxx + uyy = f
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简 考察两个自变量x, y 的二阶线性偏微分方程
a11
(
ϕx ϕy
)2
+
2a12
ϕx ϕy
+ a22
=
0
沿着曲线ϕ(x, y)
=
c
有0
=
dϕ
=
ϕxdx
+ ϕydy,
则 ϕx
ϕy
=
−
dy dx
,
(2.1.5)
等价于
( dy )2
dy
a11 dx − 2a12 dx + a22 = 0
称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程.
设a11 ̸= 0 则分解为
dy = a12 = y dx a11 x
(
1 y
dy
=
1 x
dx
⇒
ln y
=
ln x + ln C)
特征线(即解曲线)
为y
x
=
C.
作自变量变换ξ
=
y x
,
η
=
y由(ξx
=
−
y x2
̸=
0),
则
y ux =uξξx + uηηx = − x2 uξ,
1
uy =uξξy + uηηy = x uξ + uη,
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
则ξ满足(2.1.5), 故有A11 ≡ 0. 又∆ = 0, 故a212 = a11a12, 从而
A12 =a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy,
√
√
√
√
=( a11ξx + a22ξy)( a11ηx + a22ηy) = 0
= 1,
C4′
= 0,
F4′
=
−f
(ξ,
η))热传导方程
∂v ∂ξ
=
∂2v ∂η2
+ f (ξ, η)
注2.1.1. ϕ2(x, y)取法的特殊情况–取
y, 若 ξx ̸= 0, η = ϕ2(x, y) = x, 若 ξy ̸= 0.
3) ∆ < 0
与(2.1.6)对应的二次代数方程无实根,
但有两个共轭复根p(x, y) ± iq(x, y),
此时A22 ̸= 0 (否则, ϕ2也满足(2.1.5), 与(2.1.6)仅有一族解曲线矛盾!) 由(2.1.4)可得, uηη = A4uξ+B4uη+C4u+F4(抛物型方程的标准形式)
令v
=
ue−
1 2
∫η
η0
B4(ξ,τ )dτ 则
vηη = A′4vξ + C4′ v + F4′
(A′4
= − a12 √ a11
ξy
+
−∆ a11 ηy
ηy −
− a12 a11
ηy
+
−∆ a11 ξy
ξy
=
−∆ a11
(ξy2
+
ηy2)
̸=
0
(否则有ξy = 0, ηy = 0则ξx = 0, ηx = 0则ϕx = ϕy = 0则与ϕ2x + ϕ2y ̸= 0的假设不符) 所以ξ, η函 数无关. 因ξ + iη满足(2.1.5), 有
a11(ξx + iηx)2 + 2a12(ξx + iηx)(ξy + iηy) + a22(ξy + iηy)2 = 0
实虚分开则
a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2 = a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2, a11ξxηx + 2a12(ξxηy + ξyηx) + a22ηyξy = 0
定义2.1.1. 若在点(x0, y0)处∆ > 0(= 0, < 0),则称方程在点(x0, y0)为双曲(抛物, 椭圆) 型的. 如果(2.1.1)在Ω内每点均为双曲(抛物, 椭圆) 型的, 则称(2.1.1)在Ω内为双曲(抛物, 椭圆) 型 的.
注2.1.2. 除上述三种类型为, 有些方程在区域内Ω为变型方程. 例如, 特里科米(Tricomi) 方 程yuxx + uyy = 0, 其判别式∆ = −y, 故在上半平面y > 0内属于椭圆型, 在下半平面y < 0内 是双曲型. 当所考察的区域Ω包括x轴上一线段时, 方程在Ω内就是混合型的. 这种方程在 研究跨音速飞机设计中有所应用. (亚音速→音速→超音速)
代入原方程, 得