具有交互作用的正交试验设计
1 、交互作用
通过前面的学习我们已经知道采用正交试验设计方法可以 明显减少多因素试验的试验次数，同时也能在一定程度上得到 能够满足工程应用的试验结果。
但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所
有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相 互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试
对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝ 2－1＝１，每
列只有一个自由度；而 以也占一列。 fA×B＝fA×fB ＝1×1＝1，所
对于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2个自由度；
而 fA×B＝fA×fB ＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而 每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。
对于2因素n水平， fA＝fB＝ n－1，每列有n个自由度； 而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB ＝（n－1）（n－1）， 所以交互作用列要占（n－1）列。
（4）有交互作用的正交设计与分析实例
在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。 对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设 计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其 它基本相同。 【例】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种 成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素 的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一 个正交试验方案并进行结果分析。
3、交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交
互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排 在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的 影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用 又与因素不同，表现在：
① 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； ② 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有 关，与交互作用级数p有关。
2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素， 一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见， m和p越大，交互作用所占列数越多。
例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考 虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占 列数为： C51 + C52 +C53 +C54 +C55 ＝5+10+10+5+1＝31，
相关概念
交互作用

因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交 互作用，通常将A因素与B因素的交互作用记作： A×B，称为1级交互，通常的称在一次试验中同时与 A因素发生交互作用的因素的个数为交互级数。
相关概念
自由度

样本中能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定， 第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是
6
7 8
2
2 2
1
2 2
2
1 1
2
1 2
1
2 1
2
2 1
1
1 2
124
79 61
K1 K2 k1 k2 极差R 主次顺序 优水平 优组合
279 386 69.75 96.50 26.75
339 326 84.75 81.50 3.25
233 432 58.25 108.00 49.75
二元表 353
如果将A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查
表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列 ，于是
将 A与B 的交互作用 A×B放在第3列。这样第3列不
能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将C放
在第4列， 查表 可知，B×C应放在第6列，余下列为
空列 ，如此可得表头设计。
② 列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，
① 选用正交表，作表头设计 由于本试验有3个两水 平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和 为： 3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5 ， 因 此可 选 用 L8(27) 来安排试验方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就 是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占 的列。可利用L8(27)二列间交互作用列表来安排各因素 和交互作用。
dfT≥ fA+fB+fC+…+ fAxB+ fBxC +fAxC+…
自由度的两条规定： （1）正交表的总自由度f总 ＝试验次数－1；正交表每 列的自由度f列＝此列水平数－1 （2）因素A的自由度fA ＝因素A的水平数－1； 因素A、B间交互作用的自由度fAxB ＝ fA×fB
如三因素四水平 43 的正交试验应安排 3(4-1)+1=10次以上的试验.
验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得十分必要，首先让我们
来看个有关交互作用的例子：
例1 有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。
现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算 出平均亩产，如下表所记。
氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－ （只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）
那么此试验必选L32（24）正交表进行设计。一般对 于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、 合理地考察某些交互作用。
综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及 现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一 般原则是：
① 忽略高级交互作用 ② 有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些 作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。 ③ 试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。
3 (2)
2 1 (3)
5 6 7 (4)
4 7 6 1 (5)
7 4 5 2 3 (6)
6 5 4 3 2 1 (7)
例如，第4列与第7列 的交互作用在第3列
第5列与第6列的 交互作用在第3列
正交表自由度的确定：
（1）每列的自由度 f列＝水平数－1 （2）两因素交互作用的自由度 fA×B＝fA×fB （两因素自由度的乘积）
4、有交互作用的试验表头设计
表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须 严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计 的一个重要特点，也是关键的一步。 在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要 考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次 要因素，不涉及交互作用的因素后安排。
n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的
多少。
通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为 80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。 你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说， 因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。
2、关于自由度和正交表的选用原则 选正交表必须遵循的原则： 正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数 要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所 选用正交表的总自由度
所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两 个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些 不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。
4.1 交互作用表
下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表 L8（27）所 对应的交互作用表。
列号 列号（ ）
1
2
3
4
5
6
7
(1)
例如，从左向 右看，第3列 与第5列的交 互作用在第6 列
如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互
作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(41)(4-1)+1=19. 又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排 3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.
若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试
验则至少应安排的试验次数为 3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.
312 1 B 88.25 78.00 10.25
337 328 84.25 82.00 2.25
327 338 B2 81.75 93 84.50
347 318 86.75 79.50 7.25
A1
46.5
A2
123Βιβλιοθήκη 70 2.75A×B>A>C>B>B×C A2 B1 C1 A2B1C1
得出试验方案列于表。
③ 结果分析 按表所列的试验方案进行试验，
其结果分析与前面并无本质区别，只是：应把
互作当成因素处理进行分析； 应根据互作效应，
选择优化组合。
极差分析结果
试验号 1 2
A 1
B 1
A×B 1
C 1
空列 1
B×C 1
空列 1
试验结果 55 38 97 89 122
1 1 1 2 2 2 2 因素主次顺序为A×B>A>C>B>B×C，表 3 1 2 2 1 1 2 2 4 明A×B交互作用、 A因素影响最大，因素C影 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 响次之，因素B影响最小。优组合为A2B1C1。