江苏省海头高级中学2014-2015学年第二学期周末训练（6）
高二数学试题（选修物理）
（考试时间120分钟，总分160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．1．∃x ∈N ，x 2＝x
2．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ．2．y 2＝20x 3．设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ ． 3．5 4．椭圆x 28＋y 2
4＝1的右准线方程是 ▲ ．4．x ＝4
5．记函数f (x )＝x ＋1
x 的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ▲ ．5．－1
6．记命题p 为“若α＝β，则cos α＝cos β”，则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ． 7．2
7．已知实数x 、y 满足20
3500
0x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨
>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 . 161
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．5
2
9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，若PF ＝2，则点P 到抛物线顶点O 的距离是 ▲．
10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ 10．(1，e) 11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，π2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．11．充分不必要
12.对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值
范围是▲ 。

(]2,2-
13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x )
的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲
象限．一14. 设二次函数2
()4(0)f x a x x c a =-+≠的值域为[)0,+∞，且(1)
4
f ≤，则22
44a c
u c a =
+++的最大值是 。

74
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15.（本题满分14分）
已知a ∈R ，设p ：函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是区间(1，＋∞)上的增函数，
q ：方程x 2－ay 2＝1表示双曲线．
（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
15．解 （1）因为p 为真命题，即函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是(1，＋∞)上的增函数，
所以－a －1
2≤1． ………………… 3分 解得a ≥－1．
即实数a 的取值范围是[－1，＋∞)． ………………… 7分 （2）因为“p 且q ”为真命题，所以p 为真命题，且q 也为真命题．
由q 为真命题，得a ＞0． 所以a ≥－1且a ＞0，即a ＞0．
所以实数a 的取值范围是(0，＋∞)． ………………… 14分
16、（本题满分14分）
已知曲线()(ln )f x x a b x =+⋅过点P （1，3），且在点P 处的切线 恰好与直线230x y +=垂直.求 (Ⅰ) 常数,a b 的值； (Ⅱ)()f x 的单调区间.
（第14题图）
解 (Ⅰ)据题意(1)3f =，所以3a =
1
()(ln )ln f x a b x x b a b b x x '=++⋅⋅=++，
又曲线在点P 处的切线的斜率为3
2， ∴
(1)3f '=，即32a b += 解得3
3,2
a b ==-.
（Ⅱ）333
()ln (1ln )222
f x x x '=-=-. ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>；当(,)x e ∈+∞时，
()0f x '<.
∴()f x 的单调区间为(0,),(,)e e +∞，在区间(0,)e 上是增函数，在区间(,)e +∞上是减函数.
17. （15分）已知双曲线1C 以点(0,1)A 为顶点，且过点(B . （1）求双曲线1C 的标准方程；
（21C 的焦距为短轴长的椭圆的标准方程； （3）已知点P 在以点A 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线2C 上运动，点M 的坐标为
(2,3)，求PM PA +的最小值及此时点P 的坐标.
解：（1）依题意，11a = …………………2分
设22121
1(0)1y x b b -=>
将(代入，得211b =
双曲线标准方程为：2
2
1y x -= …………………5分
（2）由（1）知，2
12c =
∴b = 22b ∴=
2222
22
12c a b e a a -∴=== 2
4a ∴=
∴椭圆标准方程为：22142x y +=或 22
142
y x += …………………11分 （3）依题意，抛物线标准方程为：2
4x y = 设点P 到准线1y =-的垂线段为PH
min min ()()4PM PA PM PH ∴+=+=
此时，(2,1)P …………………15分
18. （本题满分15分）
经过长期的观测得到：在交通繁忙时段，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为
()2920031600
v
y v v v =>++．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
17．解：（1
）2920920920
160031600833v y v v v v
==≤=≈++++11.1，
当且仅当1600
v v
=，即40v =时，上式取等号．
所以，当汽车的平均速度v 为40千米/小时时，车流量最大，最大车流量为11.1千辆/小时．
（2）由
2
9201031600
v v v >++得，23160092v v v ++<，即2
8916000v v -+<， 解得 25＜v ＜64．
所以，当汽车的平均速度大于25千米/小时，小于64千米/小时时，该时段内车流量超过10千辆/小时．
19．（16分）已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）2
，a ，b 是常数． （1）若a ≠b ，求证：函数f （x ）存在极大值和极小值； （2）设（1）中f （x ）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））．如果直线AB 的斜率为﹣，求函数f （x ）和f ′（x ）的公共递减区间的长度。

，∴
，，∴，∴，∴
，（舍）
b=
）的减区间为）减区间为
），故公共减区间的长度为
20．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直
线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
，得b，）
，∴•，即﹣×=
①
故椭圆的离心率为
MN==，∴
．∴．
﹣
＜（﹣
（﹣。