2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）x 2 y2 2 的直线与124 3椭圆交于 A， B 两点 .（1）求 F1，F 2的坐标；（2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有整数值 .x2 22.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为4k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的对称点为 B.（1）求△PAB 面积的最大值；（2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 .2 2 5x y= 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是3.已知椭圆 C : 2 + 2a b ( 3B1， B2，且MB1 MB 2.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.x2 y24.已知椭圆C的标准方程为1，点 E(0,1) ．16 12（1 ）经过点 E 且倾斜角为3π的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4（2 ）问是否存在直线p与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并2且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 .(1)求椭圆 C1与 C2的方程；(2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 .(i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数；(ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.26.椭圆 C 一个焦点为F (1,0)e，离心率2 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程式．（Ⅱ ）定点 M (0,2) ， P 为椭圆 C 上的动点，求 | MP | 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线 l : x 2 ， P 为椭圆 C 上的动点，证明点P 到 F (1,0) 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆C :x2y2 1(a b 0) 的右准线l的方程为 x4 3，焦距为 2 3 .a 2 b2 3（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B(1,0)作直线l与椭圆C交于点P,Q （异于椭圆 C 的左、右顶点A1 , A2）两点，设直线PA1与直线 QA2相交于点M.①若 M (4,2) ，试求点 P,Q 的坐标；②求证：点 M 始终在一条直线上.8. 设椭圆x2y2 1 （a 3 ）的右焦点为F，右顶点为A，已知a 2 31 1 3e ，其中 O 为原点，e为椭圆的离心率.|OF | | OA | | FA |（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在x轴上），垂直于l 的直线与 l 交于点M ，与 y 轴交于点 H ，若 BF HF ，且MOA MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.x2 y24) 满足9.已知椭圆 C : 1 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，离心离为 e，点 P(m,0)( m16 12条件 | FA | e ．| AP |（Ⅰ）求 m 的值．（Ⅱ）设过点 F 的直线l与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点，记△ PMF 和△PNF的面积分别为S1、 S2，求证：S1 | PM | ．S2 | PN |10.已知常数 m 0r r(m,0) 经过点 A(m,0) ，以r r，向量 a (0,1) ， b a b 为方向向量的直线与经过点 B( m,0)r rP ，其中R ．，以 b 4a 为方向向量的直线交于点（ 1 ）求点 P 的轨迹方程，并指出轨迹 E ．（ 2 ）若点 C (1,0) ，当 m 2 2 时， M 为轨迹 E 上任意一点，求| MC | 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点 F 与x轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q两点．（Ⅰ ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线 l 的斜率为1时，求△ POQ 的面积．（Ⅲ ）在线段 OF 上是否存在点M (m,0) ，使得经MP， MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．312.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于 2 ，它的一个顶点恰好在抛物线 x28y 的准线上．Ⅰ求椭圆 C 的标准方程．Ⅱ点 P(2, 3) ， Q(2,3) 在椭圆上， A ， B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．（i ）若直线AB 的斜率为 3 ，求四边形APBQ面积的最大值．6（i i ）当A，B运动时，满足∠ APQ ∠ BPQ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．yPBOAQx223 ．13.已知椭圆 M :x2 +y2 1(a b 0) 过点 A(0, 1) ，且离心率 ea b2（Ⅰ）求椭圆 M 的方程．（Ⅱ）若椭圆 M 上存在点 B 、 C 关于直线 y kx 1 对称，求 k 的所有取值构成的集合 S ，并证明对于k S ， BC 的中点恒在一条定直线上．x 2y 21314.已知椭圆C:+1(a b 0)1,a 2 b2的离心率为 2 ，且过点2 ．若点M ( x 0, y 0 )在椭圆 CNx 0 , y 0上，则点a b 称为点 M 的一个 “椭点 ”．（ 1 ）求椭圆 C 的标准方程．（ 2 ）若直线 l : y kx + m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，且 A ， B 两点的 “椭点 ”分别为 P ，Q ，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．x2 22y2 1(a b 0)15.已知椭圆 C 的标准方程为a2eb ，离心率2，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程．（Ⅱ ）若 | AB |4 2，求直线 l 的方程．3（Ⅲ ）在线段 OF 上是否存在点 M (m,0) ，使得以 MA ， MB 为邻边的四边形 MATB 是菱 形，且点 T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆 (x2)2 y21和(x2 )2 y249均相切,其圆心的44轨迹为曲线 C.(1) 求曲线 C 的方程；(2) 过点 F （ 2,0 )做两条可相垂直的直线l 1， l 2，设 l 1 与曲线 C 交于 A,B 两点 , l 2 与曲线 C交于 C,D 两点，线段 AC ， BD 分别与直线 x 2 交于 M ，N 两点。

求证 |MF |:|NF |为定值 .17.已知椭圆 C ：x 2y 21(a b 0) 的离心率为1，且过点 (2 3,3) ， A ，B 是椭圆a 2b 22C 上异于长轴端点的两点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l ：x 8 ，且lABB 1lBD (3,0)，垂足为 ，垂足为，且1， 1，若△A B D 的面积是 △ABD 面积的 5 倍，求 △ABD 面积的最大值．1 1试卷答案1.解：（Ⅰ）F1( 1,0)，F2(1,0)（Ⅱ ）（ i）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知（ii ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为m=0.k，A(x1, y1), B( x2, y2) .由题意得 x1 1, x2 1.直线 PA 的斜率为y1m kx1 (km)；直线PF2的斜率为m ；x1 1 x1 1 2直线 PB 的斜率为y2m kx2 (k m) . x2 1 x2 1由题意得kx1 (k m) ( m) kx2 (k m) 0.x1 1 2 x2 1化简整理得 (4 k m) x1 x2 3m( x1 x2 ) (4k 5m) 0.(*)将直线 AB 的方程y k ( x 1) 代入椭圆方程，化简整理得(4 k2 3)x2 8k 2 x 4k2 12 0 .由韦达定理得x1 x2 8k2 , x1x2 4k2 12 .4k 2 3 4k 2 3代入 (*) 并化简整理得 16k 2m 20k m 0 .从而 m 20 k .16 k2 1当 k 0时， m 0 ；当 k 0 时， | m | 20 | k | 20 | k | 5 .16k 2 1 2 16k 2 2故m 的所有整数值是－ 2,－1,0,1,2.2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点P 0,1 ，设点A为 x0 , y0 .因为B是A关于原点O 的对称点，所以点 B 为x0, y0.设PAB 的面积为S，则 S SPAO S PB0 2S PAO 21PO x0 x0.2因为 2 x0 2 ，所以当 x0 2 时，S有最大值 2.（Ⅱ ）由（Ⅰ）知 P 0,1 , B x , y ( x 0,且y0 1) .0 0 01 y0，线段 PB 的中点为x0 1 y0，所以，直线 PB 的斜率为2 ,2x0于是 PB 的中垂线方程为y1 y 0x 0xx 02y 0 1.2令 x 0 ，得 N 的纵坐标 y N1 x 02y 0 22 y 0 1 .又直线 l 的方程为 ykx 1，将方程代入 x 2 y 2 1 并化简得 (1 4k 2 )x 2 8kx 0 .4由题意， x 08 2 , y 0 1 4 21 k 1 k2 ,4k 4k21 (8k 2 )2 (1 4k 2 )212 214k1 4k所以， y N1 4 2k1 42.2 1 k1k( 4 2 )k因为点 N 在椭圆内部，所以112k 2 1 .1 4k2解得2k2 .44又由已知 k0 ，所以斜率 k 的取值范围是 (2, 0) U (0, 2) .443.(1) 由 52 22， b= 2 ，= e 2 = a - 2 b = 1 - b 2 9 a a a 3 依题意， △ MB 1B 2 是等腰直角三角形，从而 b = 2 ，故 a = 3 ，22所以椭圆 C 的方程是x+y=1 .9 4(2) 设 A (x 1, y 1 ) ， B (x 2 , y 2 )，直线 AB 的方程为 x = my + 2 ， 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 x 得：22- 16m- 20(4m + 9)y+16my - 20 = 0 ， y 1 + y 2 = 4m 2 +9 ， y1?y 24m 2+ 9 ，若 PM 平分 ∠APB ，则直线 PA ， PB 的倾斜角互补，所以 K PA + K PB = 0 ， 设 P (n,0)，则有y 1+y 2= 0 ，x 2 - nx 1 - n将 x 1 = my 1 + 2 ， x 2 = my 2 + 2 代入得， 2my 1 y 2 + (2 - n)( y 1+ y 2) = 0 ，整理得 (2 n - 9) m = 0 ，由于上式对任意实数 m 都成立，所以 n = 9.2骣9综上，存在定点P 琪 ,0，使 PM 平分 ∠APB .琪桫24.解：（ Ⅰ） l 经过点 E (0,1) 且倾斜角为 3π，4 所以直线 l 的方程为 yx 1 ，y x 1x2x227联立x 2 y 2，解得 或 ，y316 121y1572222∴| AB |22 2 1533636 36 2 ．7 77 7 7（Ⅱ ）设直线 p : y kx m ， M ( x 1 , y 1) ， N (x 2 , y 2 ) ， 将直线 p : ykx m 与椭圆联立可得：y kx mx 2 y 2，消去 y 得 (3 4 k 2)x 28kmx 4m 2 48 0 ，16 12 1∴64k 2 m 2 4(3 4k 2 )(4 m 2 48) 0 ，∴ 16k 212 m 2，8km2 ， x 1 x 22∴ x 1 x 24m 48 ，34k3 4k 2设 MN 中点 F ( x 0 , y 0 ) ，∴ x 0x 1 x 23 4km ， y 0 kx 0 m3m ，2 4k 23 4k 2∵ | ME | | NE | ， ∴ EFMN ，3m21∴ k EF k 1 ， ∴ 3 4 kk1 ，4km3 24k∴ m(4 k 23) 代入 ① 可得： 16k 2 12 (4k 2 3)2 ， 423 0 ，解得1 1∴16k8kk．22 故直线 p 斜率的取值范围是1 1．,22222 25.(1) 依题意 e =2，设 C 1 :x2 +y2= 1 ， C 2 : x2 + y 2 = 1 ，由对称性，四个焦点构成的四22bb 2b 4b边形为菱形，且面积 S = 1创2b 2 2b = 2 2 ，解得： b 2=1 . 2222所以椭圆 C 1 :x+ y 2x+y= 1 .2 =1 ， C 2 :42(2)(i) 设 P (x 0 , y 0 )，则 x 02 + y 02= 1 ， A (- 2,0)， B (2,0 ).2 4y 0 ， k PB = y 0 .k PA = 2 x 0 - 2x 0 + 所以： k PA k PBx2y 02= 4 - 2 x 02= - 2 .- 2x 2- 2直线 PA ， PB 斜率之积为常数 - 2 .2(ii) 设 E (x 1 , y 1 ) ，则 x 12 =1 .+ y 12y 1， k EB = y 1 ，k EA =2 x 1 -x 1 + 21221-x 111 所以： k EA k EB2 y 1= 2= - ，同理： k FA ?k FB -22 ，x 1- 2 x 0 - 22 所以：k FA 鬃k FB k FA k FB =1，由 k EA = k PA ， k FB = k PB ，结合 (i) 有4k EA ?k FB1- .86. Ⅰ ）根据题意得 c 1 ， ec 2 ，解：（ a 2∴ a2 ， c 1 ， b 1 ，故椭圆 C 的方程为x 2y 2 1 ．22（Ⅱ ）设 P 点坐标为 (x 1, y 0 )，则 x 0y 021 ，2| MP | x 02 ( y 0 2) 22 2 y 02 ( y 0 2) 2y 02 4 y 0 6( y 0 2) 2 10 ，∵ 1≤ y 0 ≤ 1，∴当 y 01 时， MP 取得最大值 3．∴ | MP |最大值为 3 ，此时 P 点坐标为 (0, 1) ．（Ⅲ ）设 P 点 ( x, y) ，则x 2y 21 ，2P 点到 F (1,0) 的距离为：( x 1) 2y 22x 2 122 x 21 24 x 4) ，(x 1) 12x(x221 (2 x)2 2 (2 x) ，2 2P 到直线 x2 的距离为 2 x ，2(2 x)2 ，∵ 22 x2故 P 到 F (1,0) 的距离与到定直线的距离之比为常数2 ．2a 24 3c 3a 2 x 2y 27.解 : ⑴由 2c 2 3得1．b所以椭圆 C 的方程为a2b2c214⑵① 因为 A 12,0 ， A 2 2,0， M4,2 ，所以 MA 11( x 2) ，代入的方程为 y3x 2 4y 2 4 ，x24 + 4[ 1( x 2)]20 ，即 (x + 2)[( x 2) + 4( x + 2)] 0 ，39因为 x A 12 ，所以 x P10，则 y P12 ，所以点 P 的坐标为 ( 10 , 12) ．13 1313 13 同理可得点 Q 的坐标为 6 4( ,) ．55②设点 M x 0 , y 0 ，由题意， x 02 ．因为 A 1 2,0 ， A 2 2,0 ， 所以直线 MA 1 的方程为yy 0 ( x 2) ，代入 x 2 4y 2 4 ，得 x 24 + 4[ y 0 ( x2)] 2 0 ，x 0 2x 0 2即4y 02( x + 2)[( x2) +( x 02)2(x + 2)]0 ，因为 x A 1 2 ，28 y 024(x 0 2) y 0所以x P (x 0 2) 24( x 0 + 2) 22 ，则 y P，故点 P 的坐标为4 y 02( x 0 + 2)2 + 4 y 02( x 0 2)2 4 y 021 +(x 0 2) 24( x + 2) 24( x 2) y( 0 2 22 , 0 2 02 )．( x 0 2) (x 0 + 2) + 4 y 04 y 0同理可得点 Q 的坐标为4( x 0 - 2)24( x 0 2) y 0 ( ( x 0 - 2)2+ 4 y 022 ,( x 0 2)2 4 y 0 2 ) ． 因为 P ， Q ， B 三点共线，所以kPBk QB ， y Py Q．x P1 x Q14( x 0 2) y 0 4( x 0 2) y 0( x 0 2) y 0(x 0 2) y 0所以( x 0 2) 2 4 y 02(x 0 2) 2 4y 02，即 2 2，(x 02)3( x 02)24 y 024 x 0 + 2 24( x 02) 212y 02 12 22 122(x 02)x 0 + 2 + 4y 04 y 0由题意， y 00 ，所以x 02x 0 22．(x 02) 223( x 024 y 012y 0 2)即 3(x 0 2)( x 0 2) 2 4( x 0 2) y 0 2 ( x 0 2)(x 0 2)2 12(x 0 2) y 0 2 ．所以 (x 04)(x 02y 021) 0 ，则 x 0 40 或x2y 0 2 1 ．若x 02y 021 ，则点 M 在椭444圆上， P ， Q ， M 为同一点，不合题意．故 x 0 4 ，即点 M 始终在定直线 x 4 上． 16分8.（ Ⅰ ）解：设1 1 3e1 13c ，可得 a 2－F(c ， 0) ，由| OA | | FA |，即aa(a| OF | cc)c 2=3c 2，又 a 2－ c 2=b 2=3 ，所以 c 2=1，因此 a 2=4. 所以，椭圆的方程为x 2y 241 .3（ Ⅱ ） 解 ： 设 直 线 l 的 斜 率 为 k （ k0 ） ， 则 直 线 l 的 方 程 为 y k( x 2) . 设x 2y 21yB( x B , y B ) ， 由 方 程 组4 3， 消 去， 整 理 得y k (x2)( 4k 2 3)x 216k 2 x 16k 2 12 0 .解得 x2 ，或 x 8k26 ，由题意得 x B8k26，从而yB12k .4k 23 4k 234k 2 3由（ Ⅰ ）知， F (1,0) ，设 H ( 0, y H ) ，有 FH( 1, y H ) ， BF 9 4k 2 12 k) . 由 ( 2 , 24k 3 4k 3 BFHF ，得 BF HF9 4k 2 12ky H 0 ，解得 y H 9 4k 20 ，所以34k 2 3 12 k .因此直线4k 21 x9 4k 2MH 的方程为 y12k .ky19 4k 220k 29设 M ( x M , y M ) ，由方程组x消去 y ，解得 x M .在 MAOk12k 12(k2 y2) 1)k( x中，MOA MAO| MA | | MO |，即 (x M2)2 y M 2 x M 2 y M 2 ，化简得 x M1 ，即20k 29 1，解得 k6 或 k6 .12(k 21)44所以，直线 l 的斜率的取值范围为(,6 ] [ 6 , ) .4 49.解：（ Ⅰ） ∵ 椭圆 C 的方程为x 2y 2 1 ，1612∴ a 4 ， b 2 3 ， c 2 ，∴ ec 1， | FA | 2 ， | AP | m 4 ，a 2∵ | FA | 2 4 1 ， | AP | m 2∴ m 8 ．（ Ⅱ ）若直线 l 的斜率不存在，则有 S 1 S 2 ， | PM | | PN |，符合题意，若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k (x 2) ， M (x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，x 2 y 21，得 (4 k 2 3) x 2 16k 2 x 16k 2由1612 480 ，y k(x2)0 恒成立，且 x 1x 216k216k 248可知2， x 1x 223 ，4k3 4k∵ k PM k PNy 1 y 2 k (x 1 2) k( x 22)x 1 8 x 2 8 x 18x 28k( x 1 2)( x 28) k (x 22)( x 1 8)(x 1 8)( x 2 8)2kx1x2 10k ( x1 x2 ) 32k ( x1 8)( x2 8)2k 16k 2 48 10k 16k 23 32k4 k2 3 4k2 0 ，( x1 8)( x2 8)∴ ∠ MPF ∠ NPF ，∵ △ PMF 和△PNF的面积分别为：S1 1| PF || PM | sin∠ MPF ， S212| PF || PN | sin∠ NPF ，2∴S1 | PM |S2 ．| PN |r r10.解：（ 1 ）∵ a b (m, ) ，∴直线 AP 的方程为： y (x m) ①式，mrr又 b 4a ( m, 4) ，∴直线 BP 的方程为：y 4m) ② 式，( xm由① 式，②式消去入得y 24(x 2 2 ) ，即x2 y22 m 2 1 ，m m 4故点 P 的轨迹方程为x2 y21 ．m2 4当 m 2 时，轨迹 E 是以 (0,0) 为圆心，以 2 为半径的圆，当 m 2 时，轨迹 E 是以原点为中心，以( m2 4,0) 为焦点的椭圆，当 0 m 2 时，轨迹 E 是以原点为中心，以(0, 4 m2 ) 为焦点的椭圆．（ 2 ）当 m 2 2时， x2 y2 1 ，8 4∵M 为轨迹 E 是任意一点，∴设 M (2 2 cos ,2sin ) ，∴ | MC | (2 2cos 1)2 (2sin ) 22 24cos2 4 2 cos 5 4 cos 32∵ cos [ 1,1] ，∴当 cos2时， | MC | 取得最小值3 ．22211. （Ⅰ ）由已知，椭圆方程可设为xy1(a b 0) ，a 2b 2∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为 2 ，∴ b c 1 ， a2 ，故所求椭圆方程为 x 2y 21 ．2（Ⅱ ）右焦点 F (1,0) ，直线 l 的方程为 y x 1 ，设 P(x 1 , y 1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) ，由x 2 2 y 2 2 22 y1 0 ，解得 y 11 ， y 21yx 1 得， 3y，3∴ S △ DOQ1 | OF | | y 1 y2 | 1 | y 1 y 2 | 2 ．2 2 3（Ⅲ ）假设在线段 OF 上存在点 M (m,0)(0 m 1) ，使得以 MP ， MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与 x 轴不垂直，所以设直线 l 的方程为 y k( x 1)(k 0) ， 由x 22 y 2 22k 224k 2x 2k 220 ，y可得： (1 ) xkx 122∴ x 1 x 2 1 4k ， x 1 x 2 2k 2 ，2k 2 1 2k 2uuuruuuur uuurMP ( x 1 m, y 1 ) ， MQ (x 2 m, y 2 ) ， PQ ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) ，其中 x 2 x 1 0 ，以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形uuur uuuur uuur(MP MQ ) ⊥ PQ ，uuur uuuur uuur 0 ，即 (x 1 x 2 2m)(x 2x 1 ) ( y 1 y 2 )( y 2 y 1 ) 0 ， ∴ (MP MQ ) PQ ∴ (x 1 x 2 2m) k( y 1 y 2 )0 ，∴4k 2 2 2mk 24k 2 2 2 0 ，化简得 2k 2(2 4k 2 )m 0 ，1 2k1 2kk 2∴m2 (k0) ，1 2k1 ∴ 0 m． 2Cx 2 y 212.解： Ⅰ设椭圆 的标准方程为 ab 1(a b 0) ，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x 2 8y 的准线 y2 上，∴ b 2 ，即 b2 ，又∵c3 ， a 2 b 2 c 2 ，a2∴ a 4 ， c 2 3，故椭圆 C 的标准方程为x 2y 21 ．164Ⅱ（ i ）设1 122) ，直线 AB 的方程为 y3 t ，6y 3xt联立 6，得 x 23tx3t 212 0 ，x 24y 2 16由0 ，计算得出4 3 t4 3 ，33 ∴ x 1 x 23t ， x 1 x 2 3t 212 ，∴| x 1x 2 |( x 1x 2 )2 4x 1 x 248 9t 2 ，∴四边形 APBQ 的面积 S1 2 3 | x 1 x 2 |348 9t 2 ，2当 t 0 时， S max 12 ．（ii ） ∵ ∠ APQ ∠ BPQ ，则 PA ， PB 的斜率互为相反数，可设直线 PA 的斜率为 k ，则 PB 的斜率为 k ，直线 PA 的方程为： y3 k (x 2) ，y 3 k( x 2)4k 2 )x 28k( 3 2k) x 4( 32k)216 0 ，联立x24 y 216 ，得 (1∴ x 12 8k(2 k 2 3) ，1 4k同理可得： x 228k( 2 k 2 3)8k (2 k 2 3) ，1 4k1 4k∴ x 1 x 216k 2 24， x 1 x 2 16 3k2，1 4k1 4kk ABy 1 y 2k( x 1x 2 ) 4k3 ，x 1 x 2x 1x 2 6∴直线 AB 的斜率为定值3 ．613.（ 1） ∵ 椭圆 M 过点 A(0, 1) ， ∴ b 1．∵ e=c3 ， a 2 b 2 + c 2 ， ∴ a 2 ．a2∴椭圆 M 的方程为x 2+ y 2 1 ．4（ 2 ）依题意得 k 0 ，因为椭圆 M 上存在点 B ， C 关于直线 ykx 1对称，所以直线 BC 与直线 y kx 1 垂直，且线段 BC 的中点在直线 y kx 1 上，设直线 BC 的方程为 y1x +t ， B( x 1, y 1 ) ， C( x 2 , y 2 ) ．k由 y 1x+ t 2 + 4) x 2 8ktx + 4k 2 t 24k 2 0 ．k ，得 ( k224x + 4 y由64k 2 t 24(k 2 + 4)(4k 2 t 2 4k 2 ) 16k 2 (4 k 2 t 2 + k 2 ) 0 ，得 k 2 t 2 k 24 0 ．∵x 1 + x 28kt ，k 2 + 4∴BC 的中点坐标为4ktk 2t．k 2 + 4 , k 2+ 42 4kt又线段 BC 的中点在直线 ykx 1 上， ∴k t kk 2+ 41，k 2 + 4∴ 3222或 k2 ． k t 1 ，代入 k 2 t 2k 24 0 ，得 kk + 422∴ Sk k2或 k2 ．22∵ k 2k 2t 1 ，+ 4 3∴对于 k S ，线段 BC 的中点的纵坐标恒为1，即线段 BC 的中点总在直线 y 1 上．3314.（ 1 ）由 e 1 ，得 a 2c ，2又 a 2 b 2 c 2 ， ∴ b3c ，∴椭圆 C : x 2 y 2 ． 4c 2 3c 2 13在 c 上， ∴ 191 ，得 c1，∵点 1,424c 2 3c 2∴ a 2 ， b3 ，∴椭圆 C 的方程为x 2y 2 1 ．43（ 2 ）设 A(x 1, y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 P x 1 , y 1 ， Q x 2 , y 2 ，2 3 2 3由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，得 uuur uuur 0OP OQ ，即 x 1 x 2y 1 y 2 0 ①，43y kx m2 y 2，消去 y 整理得 (3 4k 2) x 28mk 4( m 23) 0 ，由 x431由64k 2 m 2 16(3 4 k 2 )(m 2 3) 0 ，得 3 4k 2 m 20 ．而 x 1 x 28mk2 ， x 1x 24( m 2 23) ， ②3 4k3 4k所以 y 1 y 2 (kx 1 m)(kx 2m) k 2 x 1x 2mk( x 1x 2 ) m 23(m 2 4k 2 ) ③ ，3 4k 24( m 2 3) 3(m 2 4k 2) 0，即 2m 2 4k 2 3 ． 将②③ 代入 ① 得 4k 2 ) 4(3 4k 2 ) 4(3又∵| AB | 1 k 2 (x x )2 4x x 2 1 k2 48(4 k 2 m 2 3) ， 1 2 13 4k 2原点 O 到直线 l : ykxm 的距离d| m |，1 k 2∴ S △ AOB1| AB | d 1 1 k248(4 k 2m 2 3)| m |，222 23 4k 14k把 2m 24k23 代入上式得S△ AOB3 ，故 △ AOB 的面积为定值 3 ．b 115.（ 1 ）由题意可得c 2 2 ， b c 1 ，a，解得 a2a 2b 2 +c 2∴椭圆 C 的方程为x 2+ y 2 1 ．（ 2 ）设直线 l的方程为 y 11B( x , y )，则 k(x 1) ， A(x , y ) ， 22y k( x 1)x 2+ y 2，消去 y 得 (2 k 2+1)x 2124k22 2x 1 + x 2， x 1x 22k．22 +12k +12k∵ AB4 2，34k 2 22 k 2 2 ∴ (1+ k 2 )42k 2 +1 2k 2 +14k 2 x + 2k 2 2 0 ，4 2 ，3化简得 7 k 4 2k 2 5 0 即 ( k 21)(7k 2 + 5) 0 ，解得 k1 ．故直线 l 的方程为 y x 1 或 y x 1．（ 3）由（ 2 ）可知 A(0,1) ， B 4 1, ，假设存在点 M (m,0) ，设 T (x 0 , y 0 ) ，则3 3 x 02 + y 02124 m) + 4 0，解得 m 2 6( x 0y 02 (0,1) ， 33x 0 + m 1 y 02 2故不存在点 M ( m,0) ，使得以 MA ， MB 为邻边的四边形 MATB 是菱形．16.（ 1）设动圆圆心为 ，半径为∵两个定圆为和∴其圆心分别为， ，半径分别为 ，∵∴两个定圆相内含∵动圆 与两个圆均相切∴，∴∴动点的轨迹为以，为焦点，以 4 为长轴长的椭圆∴曲线的方程为（2）当，平行于坐标轴时，可知当，不平行于坐标轴时，设，将的方程代入曲线的方程中消去化简得：∴，同理可得，由直线中令可得①∵与曲线交于，两点，与曲线交于，两点∴，代入①式化简得∴同理可得∵∴综上所述，c 1 ,a 2 a 4,12 31,解得b 2 3, 17.（ 1）依题意b 2 a 2c 2,a 2b 2c 2 ,故椭圆 C 的方程为x 2y 2 1．16 12（2）设直线AB 与 x 轴相交于点 R(r ,0)SABD13| | y A y B | ，| r2SA B D1 5 | yA yB |，21 11 1由于SA 1B 1D5S ABD 且 | y A 1 yB 1 | | y A y B |，得 5 5 | r 3| ， r 4 （舍去）或 r2 ， 即直线 AB 经过点 F (2,0) ，设A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， AB 的直线方程为：x my 2 ， 由x my 2,即 (3m 24) y212my36 0，4 y 23x 2 48,yy12m， y y236 ，123m 241 3m2 4SABD1| y 1 y 2 | 1 ( y 1 y 2 ) 2 4 y 1 y 2 12 m 2 112 m 2 1 ，2 2(3m 2 4)23(m 2 1) 1 令 tm 2 1 1，所以 S ABD12t12 ，3t 21 3t 1t1111 ,因为 3t3(t3) ，所以 3t 在 [ ) 上单调递增，所以在 t [1,) 上单调递tt t 3增，所以 3t 1 4 ，所以 S ABD3 （当且仅当 tm 21 1 ，即 m 0 时 “ ”成立），t故 S ABD 的最大值为 3．。