第十章 总积分习题解答第12次课 二重积分的概念及性质1、 略2、根据这三点可知区域：2120ln()10[ln()]ln()x y x y x y x y ≤+≤⇒<+<⇒<+<+由二重积分的性质即得到：20[ln()]ln()DDx y d x y d σσ<+<+⎰⎰⎰⎰ 2、 提示：对于二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，根据题设条件：（1） 积分区域是对称的（2） 被积函数(,)f x y 的奇偶性（注意一定要判定） 据（1）、（2）可得答案依次为：成立、不成立、成立3、 与3题方法一样：答案依次为：0、0、0、0。

4、 按照二重积分的定义（几何意义），答案：6π5、 222210ln()02x y x y <+≤⇒+<，再由积分中值定理，可得： 符号为负提高题：当00,0x y ρ+→⇒→→ 再由积分中值定理：2222222(,)(,)(,)x y x y f x y d f d f σσσεησπεησ+≤+≤==⎰⎰⎰⎰（1）将（1）代入所求式子：2222220020011lim (,)lim (,)lim lim (,)lim x y x y x y I f x y d f d f σσσσσσσεησππεησ++++→→→+≤+≤→→→===⎰⎰⎰⎰由(,)f x y 的连续性，有：00lim (,)=(0,0)x y f f εη→→故而：0I =第13次课 二重积分的计算法1、（1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤112222118()()3Dx y d dy x y dy σ--+=+=⎰⎰⎰⎰ 或者：根据对称性质：2222882()233D D Dy d x y d x d σσσ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2）根据积分区域：0000cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos )22()232xxdx x y dy x x x dxx x xdx x x xdx ππππππππππ+=-=---+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰（3）根据积分区域32222220235222222002(4)311264(4)(4)(4)33515Dxy d xdx y dy x x dyx d x x σ==-=---=--=⎰⎰⎰⎰⎰（4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤1110112200()4()4()144((1)(1))2(1)23yDD x y dxdy x y dxdy dy x y dxy y y dy y dy -+=+=+=-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰P45（5）sin 22220230320302202200()()1(sin sin ) (1)3sin (1cos )cos 124[cos cos ](2) (2)333cos [cos 2sin ]2(sin cos )xDx y d dx x y dyx x x dx xdx x d xx x x d x x x xd x x x x ππππππππππσππ-=--=--=--=--+=-=--++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2 4 (3)40(2)(3)(1)9π-由、得（6）33120112220112222201sin sin sin [(cos1cos )(cos cos1)]11[cos1sin ][sin cos1]221(cos1sin1sin 4sin14cos1cos1)22cos12sin1sin 42y y y y Dx x xd dy dx dy dx y y y y y dy y y dy y y y y σ=+=--+-=----=--+--++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、计算下列二重积分 （1）210120=2Dxydxdy ydy xdxπ==⎰⎰⎰⎰⎰（2）22141244253(cos )cos 4015y Dy DDa baby e x yx dxdy ye xdxdy y x dxdy x dx y dy a b ----+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰P 46 （3） 坐标变换222222002220222ln(1)cos ln(1)sin 1ln(1)(1)2[(1)ln(1)(1)][(1)ln(1)]DDR R xy dxdyx r r rdrd y r d r d r r r r R R R πθθθθππ++=+==++=++-+=++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4）122221220111:10:01DD D x y x D y x D y x ≤≤-≤-≤-≤-≤≤-≤=+⎰⎰⎰⎰根据对称性：12221122()523D D x xdx dx π=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰？？？3、 （1）110111110(,)(,)(,)(,)xxDyyf x y d dy f x y dydx f x y dy dx f x y dyσ-+-+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）210111(,)(,)(,)(,)Dy f x y d dx f x y dy f x y dydy f x y dxσ-=+=⎰⎰⎰⎰P47 4 (1)211(,)y dy f x y dx +⎰⎰(2)4102(,)xdx f x y dy ⎰⎰(3)1(,)xdx f x y dy ⎰(4)120(,)yydy f x y dx -⎰⎰5(说明：以通常的级坐标表达式) （1）2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰（2）20(cos ,sin )bad f r r rdr πθθθ⎰⎰6 （1）223320cos 44()()d f r rdr d f r rdr ππππθθθ-⎰⎰⎰⎰或者:232cos 4()d f r rdr ππθθ⎰⎰（2）1210cos sin (cos ,sin )d f r r rdrπθθθθθ+⎰⎰P-48 7 (1)2320016R d r dr R πθπ=⎰⎰(2)220(63cos 2sin )6Rd r r rdr R πθθθπ--=⎰⎰(3)cos 3cos 222220223232333322001()322224(1cos )sin 33339R R d R r d R d R d R R θππθππππθθθθθθ--=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰提高题：11111001110011100(,)(,)[(,)(,)](1,)0,(,1)0,(1,)0(,1)0[(,)(,)](,)(,)[(,)(xyx x x Dy x x x x DI f x y dxdy xdx ydf x y x f x y y f x y dy dx f y f x f y f x x f x y y f x y dy dx xf x y dxdydy xdf x y f x y x f '''''===-''===='''=-=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于得，11,)](,)Dx y dx dy f x y dxdy a==⎰⎰⎰⎰第十四次课 三重积分1、 略2、 （1）2102(,,)x y dx f x y z dz ++-⎰⎰(2)20(,,)dy f x y z dz ⎰3、（1）35600001112848ax ya x a xdx ydy zdz xdx y dy x dx a ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）2220222200cos()(1sin )1111(1sin )(cos sin )222162xdx ydy x z dz x dx ydyx xdx x x x x ππππππ-+=-=-=+-=-⎰⎰⎰⎰（3）11112201230111(3)(4)12!3!1(1)(3,4)333(7)36!180xxy xxdx ydy dz x dx y dyx x dx B --=ΓΓ=-====Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4）22112201320)111(2)460x y xdx ydy dz xdx x y ydyx x x dx +=+=+=⎰⎰⎰⎰P-51 4、110(,,)zz ydz dy f x y z dx --⎰⎰⎰5、 （1）2221210001(1)x y r e dxdy dz d e rdr eπθπ---==-⎰⎰⎰⎰⎰（2）2212cos 0rV d r dr πθθ==⎰⎰或者由对称性也可得为零P-52（3）2222520()430hhd r dr r h r dr h πππθ=-=⎰⎰⎰提高题：根据三重积分的性质:222()()F t zdV f x y z dV ΩΩ=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰将分成的两部分分别计算22204(2)18rzdV d rdr t r rdrt πθππΩ==-=⎰⎰⎰⎰2222200322323()()()()1212())2()[()2332()(1)32rf x y z dV f dVt f dV f d rdr f r r dr f t r r f t πξξξξθπξπξπξΩΩΩ++=≤====---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰433003012()()(1832()12limlim[()(18300()(0)()2lim(132t t t F t t f tF t t f t t f x f a F t a t ππξππξξπ→→+→=+-=+→→==-由于当时，可得再有的连续性和条件得： 第十五次课 重积分的应用P-53 1、 （1）11101)12S dx dx π===-⎰⎰（2）由对称性：33(1cos )2222211221(cos 2cos )(2)24a ad d a d a πθππππθσσθθθ-=-=+⎰⎰⎰2（1）由对称性：122202120044)1cos 1(1)228sin Dzd dx x y dyx r d r rdr y r πσθπθθ=--=⇒-==⎰⎰⎰⎰⎰ P-54 (2)1122022221()612()26xDDDDzd dx x y dy x d x y d y d σσσσ-=+==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由等价和对称性：3、122222013320()()114[(2)2(1)]333xxDDd xy dxdy dx x y dyx x x x dx ρσ-=+=+=--+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、DDS dxdy ===P-55 522cos 222202(1sin )2(1)2DDa S a a d ad a ππθπθθθ===-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据对称性和极坐标变换：6根据对称性:只计算第一象限22388168()3RD RV dV dxdy dx R x dx R ====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰一象限72122012240322(,)11()235(,)3548(,)3554xxDDy DDxDDMM x y dxdy x ydxdy dx x ydyx x x dx x y xdxdyx ydxdy M x M MMx y ydxdyx y dxdyM y MMMμμμ====-=========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设薄板的质量:821232330cos cos sin 4y Dx ar I x dxdya b d r dr a b y br πθπθθθ==⇒==⎰⎰⎰⎰9设密度>0k ρ= 根据对称性:就以绕Z 轴的转动惯量即可226235(2sin 9z RI I k x y k R k d d r dr πππθϕϕ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰第十六次课 第十章 总复习题 1 (1)132212(1)233Dd r ππθπ==--=⎰⎰(2)2220222sin 2sin 2cos 2[cos sin ]6Dd r rdr r rdrrd r r r r πππππππππσθππππ===-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)22222222222200ln(1)ln(1)1ln(1)(1)[(1)ln(1)(1)]224(5ln 54)4Dx y dxdy d r rdr r d r r r r πθπππ++=+=++=++-+=-⎰⎰⎰⎰⎰ (4)122212222222222222000:22[2()][2]:235)2)2DD D D x y x y dxdyx y dxdy x y dxdyD x y d r rdr d r rdr ππθθπ+≤+-⇒-+++-≤+≤-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)2sin 24304208(sin cos )(sin cos sin )3161631sin 33422d r dr d d πθππθθθθθθθπθθπ+=+===⎰⎰⎰⎰2 (1)21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰(2)101(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(3)1302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰(4)11arcsin 02arcsin 012arcsin 21arcsin 0arcsin 12arcsin (,)(,)(,)(,)(,)yy yyyydy f x y dx dy f x y dx dy f x y dxdy f x y dx dy f x y dxππππππ------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或者：302sin 00404(,)2(1cos )(2aa a xI dx f x y dy d a d aθππθπθθ-----===-=⎰⎰⎰⎰⎰413210,0,120sin()1ln()038D x y x y x y x y x y I I I d σ≥≥≤+≤⎧⎫⎪⎪<+<+≤⎪⎪⎪⎪⇒+≤⇒<<⎨⎬⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为：由积分的性质可得： 5(1)222200022200()()()()0,0()lim lim ()0(2)()(1),lim lim ()(0)(3)DDt t Da a t F t f x y d f d f t t F t f t t f x y d f f aξξξξξσξσξπξξπσξπ++++++++++→→→→→→→→∃∈=+==→→==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分的性质,(0,)：由略65112220427y DI x dxdy x dx x dx ρρρρ====⎰⎰⎰⎰ 72222222120[4(3)](44)442cos (1)sin D Dy y y V x x x dxdyx r d r rdr y πθθθ=---+=--=⇒-==⎰⎰⎰⎰⎰822222221002cos 3343220442cos 2cos 32220223434222132cos (2)24122cos 4cos x y aaa xxa x y a a a x y V dx dz dx dy ad r dr a d a a V dV d rdr dz d r dr a ad a d ππθππππθθππππππθθθθθθθθθ++---+=====-=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰整332321313442242a a V V V a ππ===-=⎰9(1)222222222230264()()(2)23x y r xy dV x y dxdy dz d r dr πθπ+Ω+=+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)350011()480aa xa xyzdV xdx ydy zdz x a x dx a -Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)2320220(1sin )16(1sin )48xyzdV dxdy zdz d drd ππθθθθπΩ==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)2222222222202021sin 422()2()(21)!ax y z r aaar r a r n a n edV d d e r dre r dr rde ae e dr a ae n n ππθϕϕππππ++Ω++∞=====-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑()22222222224cos 0sec cos 440:0,02(1)(1)a aaar x y x y r Da aD x a y ae dre dx e dy edxdy d e rdr ed e d πθππθθθθθ+⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤≤≤====-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰接下来求：此法行不通，前面用的级数展开表达式10设球的密度为ρ有对称性可知重心坐标0,0x y ==948M V zdV zdVz M ρρπρρΩΩ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰可得质心为：(2)令密度为ρ,质量为M ,由题意知ρ=22cos 320420sin 88sin cos 5M dV d d r drd ππϕπρθϕϕπϕϕϕπ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22cos 420sin cos 64835875d d r drzdVz MMMππϕθϕϕϕρππ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11 直角坐标:3x y +⎰柱面坐标: 2203r d πθ⎰⎰球面坐标:22223003cos 222sin3sin (sin cos ,sin sin ,cos )sin (sin cos ,sin sin ,cos )d d f r r r r dr d d f r r r r drπππϕπϕπθϕϕϕθϕθϕθϕϕϕθϕθϕ+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)根据对称性:24223(,,)()13)94r f x y z dV x y z dV zdVr d r rdr πθππΩΩΩ=++==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12132cos 23220033202sin sin cos 3sin 2263a dV d d r dr a d ad a πππϕππθϕϕϕϕϕππϕϕ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13201)6S d ππθ===⎰⎰⎰⎰表14提示:按照定义证明 152222222222221122000021122112()(1)sin cos 1(1)sin cos sin (1)2(1)1((1)(1))11.1..((1)(1))2418(1)1lim RR pRR R p p R R p pp p xI dV x y z x y z r dr d r I d d d d r r R R R p p Rp ππππϕθθϕϕθθϕϕππΩ----=++++++==+++-+==+-+-->⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰用球坐标变换得如下：当时，8(1)1lim R R R R I p p I π→+∞→+∞=-<=+∞当时，（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。