P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
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Ⅱ. 截面法确定圆轴横截面上的扭矩
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。 Me
1MeMe1 T T T = Me
Me
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Ⅲ. 扭矩的正负号规则
M0
MT
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第三章 扭转
Ⅲ. 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me

A D BC

l (1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了，这种 直角改变量称为切应变(shearing strain)。 (2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这种
正
M0 MT
负
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Ⅳ. 扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶 矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是 相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩 作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的 ，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。
与相对扭转角 成线性正比例关系，从而可知 与 亦成线 性正比关系：
G
这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为 材料的切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量的约值为：G =80GPa
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第三章 扭转
Ⅳ. 剪切应变能 纯剪切应力状态下的应变能密度
{M e }Nm
12
{P}kw 103 60 {P}kw 9549 2π{n} r {n} r
min
min
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在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递 n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式 计算：
P M e 9549 n [N m]
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转 速，单位为转/分（r/min）。 如 果 功 率 P 的 单 位 用 马 力 （ 1 马 力 =735.5 N•m/s），则
d y d z d x d x d z d y
可得： max [ ]
32
M
z
0
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第三章 扭转
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
{P}kw
{a }rad {M e }Nm 103 {t}s {M e }Nm rad 103
s
{M e }Nm 2π
{n} r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮 的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由 下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
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第三章 扭转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 §3-3 纯剪切 §3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭转时的变形 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆扭转的概述
* § 3- 8
扭矩和扭矩图
薄壁杆件的自由扭转
1
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d A r T 根据应力分布可知 由 A
Me
m r0
r0 d A T，于是有
A
dA
m
x
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
2 引进 A0 πr0 ，上式亦可写作
T 2 A0
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T
+
1
T1
x
T2
2
x x
76.4Nm
-
114.6Nm
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第三章 扭转
§3-3 纯剪切
r0 一、薄壁圆筒——通常指 10 的圆筒 Me Me m
O r0

m Me m
l
T m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力
偶矩——扭矩(torque)
28
T Me
3
22
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第三章 扭转
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M 2 4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M 3 9.56kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
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第三章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
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作业：图示传动轴，转速n=500r/min，轮B为主动轮，输入功率 PB=10kW，轮A与轮C均为从动轮，输出功率分别为PA=4kW与PC=6kW 。试计算轴的扭矩，并画扭矩图。
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9 10 3 N m 15.9 kN m 300 150 3 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78 10 3 N m 4.78 kN m 300 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 10 3 N m 6.37 kN m 300
角位移称为相对扭转角。
(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 r0 不沿壁厚变化的，故有 l ，此处r0为薄壁圆筒的平 均半径。
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第三章 扭转
Me
Me

A D BC

薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过
材料的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )
M
x
0
确定各段圆轴内的扭矩 。
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3 ． 建立 Mx－ x坐标系， 画出扭矩图 建立 Mx － x 坐标系，其 中 x 轴平行于圆轴的轴线， Mx轴垂直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩值，标 在 Mx － x 坐标系中，得到相 应的点，过这些点作 x 轴的 平行线，即得到所需要的扭 矩图。
对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外 力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平 面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位移 dx上作功。
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第三章 扭转
于是，当材料在线弹性范围内工作时( ≤p，见图b)，有
1 1 d W d z d y d x d x d y d z 2 2
§3-1 扭转的概念和实例
杆的两端承受大小相等、方向相 反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力 偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转 动，这种受力与变形形式称为扭转 （ torsion ）。本章主要分析圆轴扭转时 横截面上的剪应力以及两相邻横截面的 相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强 度与刚度设计方法。
2
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扭转的实例
螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶 阻抗力偶
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扭转的实例
F
F
M
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构件特征：等圆截面直杆。
以扭转变形
M


为主的杆件
称为轴.
M
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。
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MA
MB
MC
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解：
PA 9549 4 76.4 N m M A 9549 500 n PB 9549 10 191 N m M B 9549 500 n PC 6 M C 9549 9549 n 500 114 .6 N m
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M
M A 76.4 N m
x
M B 191N m
MA
0 : T1 M A 0
MC 114.6 N m MB2 1 MC
T1 M A 76.4 N m
M
x
0:
T2 MC 0 T2 MC 114.6 N m
Me
Me

A D BC

变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角
(切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转
动，称为扭转角。
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
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工程中承受扭转的圆轴
当两只手 用力相等时， 拧紧螺母的工 具杆将产生扭 转。
请判断哪一杆件
第三章 扭转
Me
m r0
dA
m
横截面上的应力：
x
(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
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第三章 扭转
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
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例题 1
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶， 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其 中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。