Wp

Tmax

Tmax=1.5kN·m
[]=50MPa
d/D = 0.9
(3) 比较重量
同种材料，杆长相同，所以，重量 比即为横截面面积之比


重量比 4
D2 d2

4
d02
762 68.52 0.395 542
空心轴远比实心轴轻，说明空心轴材 料利用率高。原因？
(2) 杆内最大剪应力 max (3) 两端截面之间相对扭转角
y
m0
A
m0
z
BC
m0=14kN·m
D = 100mm
解：(1) 求A、B、C三点应力:
Ip

D3
32
由截面法，易求得轴任意截面的扭矩均为 T = m0

A

T Ip
A
A

D 2


14 103 100 4 10 12
m0
m0

1. 横截面上的应力 1）. 变形几何关系
① 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间距不变。 ② 各纵向线近似于直线，只是倾斜了一个相同的角度。
轴表面变形前的矩形格，变形后成了平行四边形格。
设想，从轴上取出微段dx
m
1
y
1 2m
z
o
x
12 x dx
l
1
2
o
A
max
d
A
1 dx 2
将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成，然后，再想象从
O
3. 薄壁圆筒切应变为：
m
m

r
l


3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
作用在轴上的外力偶往往不是直接给出的，而是 给出轴所传递的功率和轴的转速，因而需要换算。 1.外力偶矩的计算
直接计算
按输入功率和转速计算
已知:
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
y
A
T
Cz B
由剪应力分布关系求大小, 定方向。
(2) 求最大剪应力:
a dA

o
dA b
d T
dx GI p


G
d
dx

T Ip



T Ip

max

T Ip
r

T Ip
D 2

T wp
wp

Ip r

Ip D
2
—— 抗扭截面模量
圆轴扭转剪应力的有限元解
2. Ip 与 Wp 的计算
空心轴
令
则
p
实心轴 空心轴
令d=0
(作用力反作用力)
为了表达方便，按变形特点规定符号 3.扭矩符号规定
右手螺旋法则 (扭矩矢量指离截面为 + ，指向截面为 -)
无论保留左段还是右
m
m
段，得到的扭矩大小、符
号均相同，同时，若给出 m
某截面扭矩的大小和符号，
Tx
则无论保留左段还是右段，
都能方便地画出该截面的
T
m
扭矩 (大小、转向)。
例 : 某传动轴受力如图所示，已知：MA=350N·m， MB=1000N·m， MC=650N·m。作此轴的扭矩图。
解： 1.求扭矩
对AB段，1-1左：
MeA
MeB
1
A1
B
M x 0 : T1 M A 0
T1 M A 350 N m
MeA T1
MeC
C
例 某传动轴受力如图所示，已知：MA=350N·m， MB=1000N·m， MC=650N·m。作此轴的扭矩图。
3-2 薄壁圆筒的扭转
先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题。
t
R0
t R0
t1 ( ) R0 10
1.薄壁圆筒扭转时的切应力
1).变形几何关系
me
me

① 圆周线的大小、形状不变，圆周线的间距 不变——横截面上只有切向剪应力 τ。
② 纵向线倾斜相同角度γ, 薄壁圆筒横截面绕轴线转 动了一个角度φ——半径相同处切应变相同。
由于， 为常数，且 t<< R0
上式中的 r 可用 R0 代，于是
rT
R0
T
R0
dA
A

R0
2R0t

2R02t


T
2R02t
2.切应力互等定理
材料单元体 三棱边为微元长度
Fy 0
y
1dzdy 2dzdy
1 2
mZ 0
2 dy 4 1
dx
3
T1=1114 (N.m) T2=557 (N.m) T3=185.7 (N.m)
max
E

T1 Wp1


16 1114 π 703 10-9

Pa
16.54MPa
max
H

T2 Wp2


16 557 π 503 10-9

Pa

22.69MPa
[]=50MPa
d/D = 0.9
即
d03
16

Tmax

d0
3
16Tmax

3
161.5103 3.14 50 106
53.5103 m 53.5mm 取 d0 54mm
(2) 设计空心圆轴


16
D3 (1
4
)

Tm a x

D3
16 Tm ax
GI p
d l T dx
l
0 GI p
d l T dx
l
0 GI p
若在l长度内，T、G、Ip为常数，则上式可写成：
l T dx T
l
dx
Tl
0 GI p
GI p 0
GI p
适用条件：线弹性材料；
相对扭转角 抗扭刚度
n

Tili
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
2
对AB段： T1 350 N m
A1
B2
C
对BC段： T2 650 N m
2.作扭矩图
350 N . m
T
+
T 650 N m max
-
650 N . m
解: (1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ip
p
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
p
p
例题
3
已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=7 0mm, d 2=50mm, d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速 2、计算各轴的扭矩
M=9549 P/n (N.m)
又由于t<<R0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。
me
me


T
故 薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均匀分布。
结论： 薄壁圆筒在受扭转变形时，横截面上将产 生剪应力，它的方向沿圆周切线方向，且在整个 横截面的大小相等。
3). 静力学关系
横截面上的分布内力系合成为扭矩T，即
T AdA r
i1 GI Pi
GIp —— 抗扭刚度
对比
轴向拉压 l FNl
EA
圆轴扭转 Tl
GI p
公式形式相似，适用L=1m，
两端受外力偶矩m0=14kN·m作用，如图所示。 设材料的剪切弹性模量G=80GPa。
y
m0
A
m0
z
BC
试求：
(1) 杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应力 数值及方向(C距横截面中心为25mm)；
50
10 3
32
y
m0
A
m0
z
71.4106 pa 71.4MPa
B
y

B

T Ip
B
m0
A
m0
z
BC


14 103 100 4 10 12
50
10 3
32
71.4MPa
T =14kN·m
D =100mm
B

D 2
Q A = B A B
Tmax=1.5kN·m ， 许 用 剪 用 力 []=50MPa ， 试 按
下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其 重量。
(1) 横截面为实心圆截面 (2) 横截面是 d/D = 0.9的空心截面
解：① 设计实心圆轴
max
Tmax Wp



Wp

Tmax

Tmax=1.5kN·m
第三章 扭转
3-1 概述
传动轴
汽车传动轴
齿轮传动轴
机器中的传动轴
直升机的旋转轴
Me
Me


受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。 变形特点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。
以扭转变形为主的杆称为轴。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。
材料力学只研究圆轴扭转问题。