T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
p
(rad/m)
[θ]为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。
o /m [ ] =(0.150.3) 精密机器：
一般传动轴： [ ]=(0.32.0)o /m 钻杆：
[ ]=(2.04.0)o /m
例 直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN· m作 用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？ T d T T D T D/2
解： 各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN · m
（1）实心圆截面
πd 3 3.14 (100)3 109 m3 WP = = = 1.96 104 m3 16 16
第三章
扭
转
§3-1 概 述
工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕 着杆轴线转动，这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆 件称为轴（shaft）。
外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于 杆轴线的平面内。 变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任 意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角， 用j表示；纵向线也随之转过一角度g。
+ d
1.75
0.95
（2）校核轴的切应力强度
d
AC段截面扭矩绝对值最大
Mx max=1.75 kN· m Mx (kN· m) 1.43
+
轴的最大切应力
1.75
0.95
max =
M x max WP
1.75 103 N m 6 2 = = 71 . 3 10 N/m = 71.3MPa 3 π 0.05 3 m <[τ]=75MPa 16
τu
脆性材料 [τ]=（0.8-1.0）[σ]
例 直径为50mm的实心传动轴。电动机通过A轮输入 功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶 矩分别为TA=3.18kN· m，TB=1.43kN· m，TC=0.80kN· m， TD=0.95kN· m,[τ]=75MPa。 （1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。 解： （1）轴的扭矩图 Mx (kN· m) 1.43
§3-4 扭转时材料的力学性能
由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- j 曲线
δ
r0
T ( 2r0 )r0 = M x = T = 2r02
gl = r0j
r0 g = j l
故可得τ -γ曲线
τp τs
——剪切比例极限
——剪切屈服极限
τ=Gγ
剪切胡克定律
G= E 2(1 )
实心： max = W P
例 两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值 分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切 应力大？ T D1 T 0.6D1
T
D2 0.8D2
T
思考题
Mx G1 1. 横截面上的切应力怎样分布； G2 2. 横截面上两种材料交界处的切应力 是否连续；
线弹性材料，弹性范围内加 载，两种材料共同变形
d
T3
B 解:
lAB
A
lAC
C
AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kN· m， Mx2 =0.32kN· m。
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m Mx2 =0.32kN· m lAC=500mm G=80GPa
B
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
A
lAC
C
d=50mm
j AC
320 0.5 M x 2l AC = = 0.0033rad = GI P 9 80 10 0.054 32
dy
τ' τ o τ'
τ
o'
= '
dx
§3-3 圆杆扭转时的变形•扭转超静定问题 一、圆杆扭转时的变形
扭转角：横截面之间的相对角位移。
dj Mx = 单位长度杆相对扭转角 θ = G Ip dx
dx微段相对扭转角
d j = θd xBiblioteka 长l的圆杆两端截面相对扭转角
j =∫ dj = ∫ l
l
0
Mxdx GIp
T
d T （1）实心圆截面
πd 3 3.14 (100)3 109 m3 WP = = = 1.96 104 m3 16 16
max =
M x max WP
10 103 N m 6 2 = = 51 . 0 10 N/m = 51.0MPa 4 3 1.96 10 m
例
画出如图所示圆轴的扭矩图。
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
B
2
C
3
D
功率、转速与外力偶矩的关系 W=Tφ φ =ωt P Pt W T= φ = ωt = ω ω =2nπ/60 W P= t
n—转速（转/分），P以kW计，则
P T =9.55 n （kN· m）
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
T
γ
T
φ
扭矩的计算 扭矩图
1. 扭矩用Mx表示，单位：N· m, kN· m。
2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截 面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正， 反之为负。
3. 计算方法：截面法
扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面 的位臵；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示 各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。
Mx /kN· m
1.43
+ 1.75
x
0.95
2.最大切应力
Mx
max
= 1.75kN m
Mx /kN· m
1.43
+ 1.75
x
0.95
3.14 0.053 WP = = 16 16
d 3
= 24.5 10 m
6
3
max =
Mx
max
WP
1.75 103 = = 71.4MPa 6 24.5 10
c c' d'
d

τ=Gγ
g
剪切胡克定律 G为切变模量
横截面上切应力的分布规律
dj τ ρ =Gγ ρ =Gρ dx 3. 静力学关系 Mx= ∫ Aρτρ dA Mx= ∫
A
o Mx
Gρ2
dj =G ∫ Aρ2dA dx
dj dA dx
τ ρ dA r dA ρ o Mx
令
Ip= ∫ Aρ2dA
截面的极惯性矩
dj Ip =G dx GIp ——抗扭刚度
dj Mx = G ∫ Aρ2dA dx 故 dj Mx = G Ip dx M xρ 从而 τ ρ= Ip
Mxr Mx τ max = Ip = Wp Ip Wp = r 称为扭转截面系数
二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算
1. 实心圆截面
Ip= ∫ Aρ2dA dA=2πρdρ Ip = ∫
例 一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力［τ］ =40MPa，切变弹性模量G=8×10MPa，杆的容许 单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。
解：（1）轴的扭矩图
Mx (kN· m)
7
+
3.5
+
（2）求直径
max
M x max = [ ] Wp
3. 横截面上两种材料的最大切应力。
d 2d
G2 > G1
三、切应力互等定理
τ' x
dx dy
τ
(a)
o'
o τ'
dx
τ
(b)
∑MO'O=0
( dydz)dx =( ' dxdz)dy
故
= '