回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。

模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。

求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。

①当点P与貝、g两点不重合时，求D bPQ的值。

②当点P 从貝点运动到M 的中点时，求线段％的中点所经过的路径（线段） 长。

（直接写出结果，不必写出解答过程）通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开 “平行线模型” （A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择 工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何 思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃， 让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧 技巧一： 技巧二： 技巧三： 技巧四： 技巧五： 技巧六：技巧一：三点定型的平分线,比例式的证明方法之三点定型三点定型法 等线段代换 等比代换 等积代换 证等量先证等比 几何计算横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三 个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。

1.如图，在Rt △ ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于BF ABF.求证：韮.ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 2.如图，平行四边形于F ，求证： DCAECF - AD3.如图， △ ABC 中， BAC 90 ， M 为BC 的中点， DM BC 交CA 的延长线 于D ，交 AB 于E .求证：AM 2MD ME比例式的证明方法之 等线段代换若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等 量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相 似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换【例1】 如图，在△ ABC, AD 平分/ BAC, AD 的垂直平分线 交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD 2FB 证明：连接AF,FCOADCDE\AZ2\FE是AD的垂直平分线_\FA = FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等/.ZFAD = ZFDA（等边对等角）,•「上BAF= IFAD +/1,ZACF^ ^FDA + Z2,;ZBAF= ZACFT/EFA= ZAFB二△血F 〜△ACF【例2】如图,【例3】ECA如图，AB2四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上,D .求证：AC BE CE AD •△ ACB为等腰直角三角形，AB=AC,/ BAC=90，/BE CD【例4】如图，△ ABC中，ABAD上一点，过C作CFE，交CF于F .求证: AC，//AB，AD是中线，P是延长BP交AC于PE PF -CE交AD于F ,DAE=45，求证: 等比代换【例5】如图，平行四边形AD 于O，OB2ABCD中，过B作直线AC、交CD的延长线于F，求证：【解题方法提示】OE OF .OB OF 要证OB2=OF・OE，即证OE_OD0A OF同理因为AF // BC,可得OC=OD接下来你有思路了吗？OA OBOC =OE；比例式的证明方法之AD EAB CE，由等式的传递性，问题即可得证证明：••• AB // CE，CBD ECD . 在 Rt △ABC 中，AD 丄 BC , P 为 AD 中点，MN 丄 BC ,求证 MN 2AN NC已知△ ABC 中，AD, BF 分别为BC, AC 边上的OA OB•••Of? = OE••• AF // BC ,•••1X7 = OB ,OE OF .•.OE = OD ,• OB 2=OE ・ OF .【例61 如图，在△ ABC 中，已知 A 90时，AD BC 于D , E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交 AB 的延长线于 F .求证：AB AF AC DF .【例71 如图，在△ ABC 中(AB > AC )的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点 P .求证：BP CE CP BD(1)如图1,在MBC 中，点 例8.DE // B C , AQ 交DE 于点P ,求证:如图，Z\ABC 中，/ BAC=90 (2) 的边上，连接 AG , AF 分别交DE 于M , N 两点. ① 如图2,若AB=AC=1 ,直接写出 MN 的长；② 如图3,求证：MN 2二DM?EN .D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DP _ PE ；BQ =?0 ；，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 【例91△ ABC 圏 1 中 ,BD 、CE 是高，EHHE 2HG MH .如图，在△ ABC 中，BC 于 H 、 BAC 90 ,D 为AC 中点，AE BD , E 为垂足，求证:【例10111.如图， . . . 交BF 于 G 交AC 延长线于 H 。

求证： D E=EG?EH比例式的证明方法之证等量先证等比【例111已知，平行四边形 ABCD 中，E 、F 分别在直线分别交AC 于M 、N.,求证：AM = CN.【例121 已知如图 AB=AC , BD//AC , AB//CE ,过A 点的 直线分别交 BD 、CE 于D 、E.求证：AM = NC ,AD 、 CD 上, EF//AC , BE 、BFMN //DE...4c5 G F C【例81 如交BD 于G 、交CA 的延长线于M .求证: D高，过D作AB的垂线交AB于E,2.如图，在 △ ABC 中，乙ABC = 90 ° AB=6m , BC=8m,动点P 以2m/s 的速度从 A 点出发, 沿AC 向点C 移动.同时，动点Q 以1m/s 的速度从 一点到达终点时，它们都停止移动•设移动的时间为 (1) ① 当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S (平方米)关于时间 t 式；C 点出发，沿CB 向点 t 秒. (秒)的函数解析(2) 在P, Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值.3.如图 1,在 Rt A ABC 中，^ ACB = 90° AC = 6, BC = 8,点 D 在边 AB 上运动，DE 平分三CDB 交边BC 于点E , EM 丄BD ,垂足为 M ,B 移动.当其中有运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动 态问题中尤其重要， 应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。

利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题1.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=3, BC=4,过点 B 作射线 BB1// AC .动点 D 从点 A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3 个单位的速度运动.过点 D 作DH 丄AB 于H ,过点E 作EF 丄AC 交射线BB1于F , G 是EF 中 点，连接DG .设点D 运动的时间为t 秒.(1 )当t 为何值时，AD=AB,并求出此时DE 的长度； (2)当^DEG 与^ACB 相似时，求t 的值.【例13】 【例14】【例15】 如图，△ ABC 为等腰直角三角形，点 P 为AB 上任意一点,AF 交 PE 于 N , BE 交 PF 于 M.,求证：PM=PN , MN//AB.如图，正方形 BFDE 内接于△ ABC , CE 与DF 交于点N , 与 AF 交于点 P.求证：(1) MN//AC ； ( 2) EM = DN.(探)设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，PF 丄 BC , PE 丄 AC ,AF 交ED 于点M , CE P 在 BF 上, DP//CF ，【例16】 Q 在 CE 上, DQ//BE ，PQ 交 BE 于 R ，交 CF 于 S,求证:RS -PQ3(探)如图，梯形ABCD 的底边AB 上 任取一点 M ，过 M 作 MK//BD , MN//AC , 分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别 交对角线AC 、BD 于P 、Q ,求证：KP =QN.比例式的证明方法之几何计算【例17】(2016年四月调考)如图，在△ ABC 中，AC >AB , AD 是角平分线，AE 是 中线，BF 丄AD 于G ,交AC 于点M , EG 的延长线交 AB 于点H. (1)求证：FGAH = BH , (2) 若/ BAC=60°, 求 ——的DG//值.【例18】(2016七一华源)如图：正方形 ABCD 中，点E 、点F 、点G 分别在边BC 、AB 、CD 上,/ 1 = / 2 = / 3= a 求证：(1) EF + EG = AE(2)求证：CE + CG = AF比例式的证明方法之 动点问题ASCDGQA耳EN 丄CD,垂足为N .(1 )当AD = CD 时，求证: (2)探究：AD 为何值时， 4. 如图所示，在△ ABC中，4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动•设运动的时间为 X . (1 )当X 为何值时，PQ// BC ?(2) △ APQ 与△ CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由.5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm , BC=6cm,点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速 度移动；点 Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 同时出发，用t (S )表示移动的时间(0 V t < 6)。