第2讲相似三角形6大证明技巧模型二：反X 型：如图，已知角/ BAO= / CDO ，若连 AD , BC ,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB ，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC ，/ OFE= / OCB1. 2. 3. 4. 模块一 相似三角形证明方法之 反A 型与反X 型 回顾相似三角形的判定方法总结: 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 .(SSS 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 .(SAS) 两角分别相等的两个三角形相似 .(AA) 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 (HL) 5. 模型一：反A 型： 如图，已知△ ABC , / ADE = / C ,若连 CD 、BE ,进而能证明△ ACDABE(SAS)试一试写出具体证明过程 DB2.已知在 MBC 中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q 是线段AC 上的一个动 点,过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如 图2）于点P. ⑴当点P 在线段AB 上时，求证： MPQ S M BC ;（2）当/△^QB 为等腰三角形时，求 AP 的长。
模型三：射影定理如图已知^ ABC ，/ ACB=90°，CH 丄 AB 于 H ，求证：AC 2A H AB ，BC 2BH BA ,，HC 2模型四：类射影BD 如图，已知AB 2AC AD ，求证：-AB ，试一试写出具体证明过程模块一相似三角形证明方法之 射影定理与类射影HA HB ，试一试写出具体证明过程^2应用练习:1.如图，在△ ABC中，AD丄BC于D,M AC证：--- = ----2.如图，在△ ABC 中，AD BC 于D , DE AB 于E , DF AC于F，连 / AEF= /CEF，求证:模型五：一线三等角应用练习:1.如图，△ ABC 和^ DEF 两个全等的等腰直角三角形， 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E旋转，旋转过程中, 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^^CQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含模块一相似三角形证明方法之线三等角则^ BDE s\CFD (AA ),试一试写出具体证明过程/ BACK EDF=90, △ DEF △ BP0A CEQa 的代数式表示)如图，已知/ B=/ C= / EDF ,CC2.△ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/ MDN= / B（1） 如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.（2） 如图（2），将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.（3） 在图（2 ）中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点吕在线段me 上，点D 、F 在一me 同侧，== 丄AD 二 HC 。
（1）求证：』g + CE 。
（2 ）若3=3, CE = 5,点P 为线段朋上的动点，连接DP ,作PQSP ,交 直线于点Q 。
① 当点P 与丸、占两点不重合时，求DF ：PQ 的值。
② 当点P 从耳点运动到M 的中点时，求线段W 的中点所经过的路径（线段）长。
（直接写出结果，不必写出解答过程）QDB.4 PAA/SDCS f 1)AF唾 刀C N£5 Q C通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型” （A 型，X 型，线束型）， 也离不开上述的6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具， 怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃， 让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一： 技巧二： 技巧三：技巧四： 技巧五： 技巧六：J 技巧一：三点定型 __________横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三 个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。
1.如图，在Rt △ ABC 中，AD 是斜边BC 上的高， ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于匚予工 BF ABF•求证：匪BC -三点定型法 等线段代换 等比代换 等积代换 证等量先证等比 几何计算2.如图，平行四边形 ABCD 中, DE 交BC 于F ，求证：DC A E E 是AB 延长线上的一点,CF -A D3.如图，△ ABC 中， BAC 90，M 为BC 的中点，DM BC 交CA 的延长线于 于 E •求证：AM 2 MD MED ，交 AB若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再 用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换【例11 如图，在△ ABC, AD 平分/ BAC, AD 的垂直平分线交 AD 于E ,交BC 的延长线于F ,求证：FD 2FB FC二Z1 = Z2\FE是AD 的垂直平分线_\FA = FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等:.ZFAD = ZFDA'：ZBAF= £FAD +Z1, ZACF= ZFDA 十 Z2,ZACF'/ZBFA = ZAFB /ABAFr^AACF证明:连接AF,\^AD 是上BAC的平分线,（等边对等角）F【例2】如图,ECA四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，D .求证：AC BE CE AD •【例3】如图,AB2△ ACB为等腰直角三角形，AB=AC,/ BAC=90，/ DAE=45，求证:BE CDC【例4】△ ABC中，AB AC , AD是中线，P是AD上一点，过2如图，延长BP交AC于E，交CF于F .求证：BP2PE PF -C作CF //AB ,F模块二比例式的证明方法之等比代换OD OF要证OB2=OF・OE，即证OE=OB，接下来你有思路了吗？OA OD因为AB // CE，由平行线分线段成比例定理，可得OC=OE；0A OF同理因为AF // BC,可得OC =OB，由等式的传递性, 问题即可得证【解题方法提示】平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于0, E、交CD的延长线求证：0B2 0E OF .【例5】如图,于F ,证明：••• AB // CE ,OA OB .•.荒二旋••• AF // BC ,OA OFV OC=OD,OB OF .•巫= 013, •••OB2=OE- OF .A 90 时，AD 【例6】如图，在△ ABC中，已知过D、E作直线交AB的延长线于F .求证: BC 于D ,AB AFE为直角边AC的中点,AC DF .C【例7】 如图，在△ ABC 中(AB > AC )的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点 P .求证：BP CE(2)如图，/△ABC 中，/ BAC=90，正方形 DEFG 的四个顶点在/△ABC 的边上，连接 AG ，AF 分别交DE 于M , N 两点.① 如图2,若AB=AC=1，直接写出 MN 的长；② 如图3，求证：MN 2二DM?EN .例8.DE //(1)如图1,在/ABC 中，点D 、E 、Q 分别在 DP PE BC ，AQ 交DE 于点P ,求证：竺二上;BQ PCAB 、AC 、BC 上，且CP BD.AC S G FS QffilC如图，△ ABC 中，BD 、CE 是高，EH BC 于H 、交BD 于G 、交CA 的延长 线于M •求证：HE 2HG MH .如图，在△ ABC 中， BAC 90 , D 为AC 中点，AE BD , E 为垂足，求证: CBD ECD .【例8】【例9】【例10】在Rt △ABC 中，AD 丄BC , P 为AD 中点，MN 丄BC , A C 求证 MN 2 AN NC11.如D作AB的垂线交AB于E, 已知△ ABC中，AD, BF分别为BC, AC边上的高，过图，交BF于G 交AC延长线于H。
I求证：I DE=EG?EH模块二 比例式的证明方法之证等量先证等比已知，平行四边形 ABCD 中，E 、F 分别在直线 AD 、CD 上，EF//AC , BE 、BF 分别交AC 于M 、N.,求证：AM = CN.已知如图 AB=AC ，BD//AC ，AB//CE ,过A 点的直线分别交 BD 、CE 于D 、E.求 证：AM = NC ，MN//DE.如图，△ ABC 为等腰直角三角形，点 P 为AB 上任意一点，PF 丄BC , PE 丄AC ,AF 交 PE 于 N , BE 交 PF 于 M.，求证：PM=PN , MN//AB.【例11】【例12】【例13】如图，正方形 BFDE 内接于△ ABC ，CE 与DF 交于点N , AF 交ED 于点M , CE与 AF 交于点 P.求证：（1）MN//AC ；（ 2）EM = DN.【例14】 【例15】（探）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点, P 在 BF 上，DP//CF ,Q 在CE 上，DQ//BE , PQ 交BE 于R ,交CF 于S,求证: RS -PQ 3【例16】（探）如图，梯形 ABCD 的底边AB 上任取一点M , 分别交AD 、BC 于K 、N ,连KN ，分别交对角线 AC 、 过 M 作 MK//BD ，MN//AC ， BD 于 P 、Q ，求证：KP=QN.C模块二比例式的证明方法之几何计算【例17】(2016年四月调考)如图，在△ ABC中，AC> AB, AD是角平分线，AE是中线，BF丄AD于G,交AC于点M , EG的延长线交AB于点H. (1)求证：AH=BH , ( 2) FG若/ BAC=60。