o
1 x
1y Dxy
原式 1 8
P231 3(4) 计算 xzdxdy xydydz yzdxdz,其中是平面 x y z 1, x 0, y 0, z 0所围成立体表面外侧.
解： P xy, Q yz, R xz,
利用高斯公式
P y, Q z, R x,
x
y
z
原式 (x y z) d x d y d z
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
( sin z) d d d z
x1
y
2
d
1
d
3
( sin z) dz
9
0
0
0
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
P231 3(4)计算 xzdxdy xydydz yzdxdz,其中是平面 x y z 1, x 0, y 0, z 0所围成立体表面外侧. z 1
z = h 之间部分的外侧.
解: P y2, Q x2, R z2,
P 0, Q 0, R 2z,
x
y
z
h
o
y
x
h
I 2 z d xdydz 20 z d z Dz d x d y
2
h 0
z
z2 dz
1 h4
2
复习: 三重积分化为柱面坐标的三次积分
f ( x, y, z)dv
P[
x(
y,
z
),
y,
z
]dydz,
P[x( y, z), y, z]dydz
Dyz
取前侧, 取后侧.
Q(
x,
y,
z)dzdx
Dzx
Q[
x,
y(
z,
x),
z]dzdx,
Q[x, y(z, x), z]dzdx
Dzx
取右侧, 取左侧.
第十一章
第六节 高斯公式
复习:格林公式
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L所围成, 函数P( x, y),Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
原式
D
(Q x
p)d
y
L
P(x,
y)dx
Q( x,
y)dy
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Green公式的推广-- Gauss公式
函数：二元函数
三元函数
积分范围：平面闭区域D
空间闭区域
边界: 曲线L
曲面
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
一、高斯 ( Gauss )公式
• 小结:
一、有向曲面及曲面元素的投影;
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质;
三、对坐标的曲面积分的计算法; 一投影,二代入,三定号
R(
x,
y,
z)dxdy
Dxy
R[
x,y,z(x,y)]dxdy,R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
取上侧, 取下侧.
P(
x,
y,
z
)dydz
Dyz
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数 , 则有 (Gauss 公式)
P d yd z Qd z d x Rdx d y
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下 的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲面 上的积分联系了起来.
z 1
1 1x
1x y
0 dx0 dy0 (x y z) d z
o
1
1
dx
1 x
[1
(x
y)2 ]dy
20 0
1
1y
x
1
2
1(1 x 1 1 x3)dx
0
33
1(2 1 1 ) 1 2 3 2 12 8
P d yd z Qd z d x Rdx d y
P239
P d yd z Qd z d x Rdx d y
使用高斯公式时的注意事项 1.正确确定P,Q, R三个函数,并注意分别对哪个变 量求偏导数; 2.判断P,Q, R三个函数是否具有一阶连续偏导数; 3.注意曲面积分取封闭曲面的外侧.
例 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2及
d
2 d 2 ( , ) f ( cos , sin , z)dz
1
1 ( , )
(先z次 后 )
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x,Q 0, R x y
解：P y z, Q z x, R x y,
P 0, Q 0, R 0
x
y
z
(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy 0dxdydz 0
P d yd z Qd z d x Rdx d y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2及
解 P x y, Q y z, R z x, P 1, Q 1, R 1
x y z
根据高斯公式
原式
P x
Q y
R z
dv
a
(1 1 1)dv
Ω
3 (Ω的体积) 3a3.
练习 计算 ( y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy,其中
是曲面z x2 y2 及平面z h(h 0)所围成立体表面外侧.
则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy,
其中L 是 D 的正向边界曲线.
格林公式是微积分基本公式在二重积分情形下的推广. 反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积分的
关系。结果是二重积分与曲线积分的计算可以互转。
7
P217
(3,2)
(0,0)
(3,0)
P213
y2 x
y x2
解：P x2 xy3, Q y2 2xy
z = h 之间部分的外侧.
解: P y2, Q x2, R z2,
P 0, Q 0, R 2z,
x
y
z
h
o
y
x
h
I 2 z d xdydz 20 z d z Dz d x d y
P 4xz, Q y2, R yz,
P 4z, Q 2 y, R y,
x
y
z
z
1
1o
1 y
x
P d yd z Qd z d x Rdx d y
P d yd z Qd z d x Rdx d y
练习 计算 (x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy, 是 以原点为中心, 边长为a的正方体的整个表面的外侧.