8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 λ ,求环心处 O 点的场 强． 解: 如 8-7 图在圆上取 dl = Rdϕ
题 8-7 图
dq = λdl = Rλdϕ ，它在 O 点产生场强大小为 dE =
λRdϕ 方向沿半径向外 4πε 0 R 2
则 dE x = dE sin ϕ =
R ) x
∫
�
�
s
q ε0
立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 Φ e =
q ． 6ε 0
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使 q 处于边长 2a 的 立方体中心，则边长 2a 的正方形上电通量 Φ e =
q 6ε 0 q ， 24ε 0
dE P =
λ (cosθ 1 − cosθ 2 )
4 πε 0 r 2 +
l2 4
∵
cosθ 1 =
l 2 l2 r + 2
2
cosθ 2 = − cosθ 1
∴
dE P =
λ
4 πε 0 r 2 +
l l 4
2
r2 +
l2 2
� dE P 在垂直于平面上的分量 dE ⊥ = dE P cos β
∴ O ′ 点电场
� ρ E 0′ = OO ' 3ε 0
题 8-13 图(a)
题 8-13 图(b)
(3)设空腔任一点 P 相对 O ′ 的位矢为 r ′ ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b) 图) 则
�
�
� � ρr E PO = ， 3ε 0 � � ρr ′ E PO′ = − , 3ε 0
d2
x2 + d 2 2
EQy = ∫ dEQy =
l
∫
l 2 l − 2
dx (x + d )
2 2 2 3 2
=
λl
2 πε 0 l 2 + 4d 2 2
以 λ = 5.0 × 10 −9 C ⋅ cm −1 , l = 15 cm , d 2 = 5 cm 代入得
EQ = EQy = 14.96 × 10 2 N ⋅ C −1 ，方向沿 y 轴正向
S = 2 π( R 2 + x 2 )[1 −
x R2 + x2
]
∴
Φ=
q0 S q x = [1 − ] 2 2 2 ε 0 4π ( R + x ) 2ε 0 R + x2
α
*关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图
S = ∫ 2πr sin α ⋅ rdα
0
= 2 πr 2 ∫ sin α ⋅ dα
∴
dE ⊥ =
λl
4πε 0 r 2 +
r r2 + l2 4
l2 2 l2 r + 4 2
题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为
EP = 4 × dE⊥ =
4λlr 4 r2 + 4 2
∵ ∴
λ= EP = qr
q 4l
方向沿 OP
l2 l2 4πε 0 (r 2 + ) r 2 + 4 2
习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q ′ 为负电荷
λ sin ϕdϕ 4πε 0 R
−λ cos ϕdϕ 4πε 0 R
dE y = dE cos(π − ϕ ) =
π
积分 E x =
∫
0
λ λ sin ϕdϕ = 4 πε 0 R 2 πε 0 R Ey = ∫
π
0
−λ cos ϕdϕ = 0 4 πε 0 R
∴
E = Ex =
λ ，方向沿 x 轴正向． 2πε 0 R
�
1 � (σ 1 − σ 2 )n 2ε 0
� 1 � σ 1 面外， E = − (σ 1 + σ 2 )n 2ε 0 � 1 � σ 2 面外， E = (σ 1 + σ 2 )n 2ε 0
� n ：垂直于两平面由 σ 1 面指为 σ 2 面．
8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ρ ,若在球内挖去一块半 径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O ′ 点的场强， 并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 ρ 的均匀球与带电 − ρ 的均匀小球的组合，见 题 8-13 图(a)． (1) + ρ 球在 O 点产生电场 E10 = 0 ，
�
4 3 πr ρ � 3 − ρ 球在 O 点产生电场 E 20 = OO' 4 πε 0 d 3
∴
� r3ρ O 点电场 E0 = OO ' ； 3ε 0 d 3
4 3 πd ρ � 3 (2) + ρ 在 O ′ 产生电场 E10′ = OO ' 4π ε 0 d 3 � − ρ 球在 O ′ 产生电场 E 20′ = 0
也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 E =
力f =q
q q2 ，这是两板间相互作用的电场力． = 2ε 0 S 2ε 0 S
� � �
8-5 一电偶极子的电矩为 p = ql ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r
与 l 的夹角为 θ ,(见题8-5图)，且 r >> l ．试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 E r 和垂直于 r 的分量 Eθ 分别为
p cosθ 2πε 0 r 3
E0 =
p sin θ 4 πε 0 r 3
题 8-5 图 题 8-6 图 8-6 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 λ =5.0x10-9C·m-1 的 正电荷． 试求： (1)在导线的延长线上与导线B端相距 a1 =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 d 2 =5.0cm 处 Q 点的场强． 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r >> l 处，它相当于点电荷 q 产生 的场强 E ． 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 小为
� q 在 P 点产生物强 dE P 方向如图， 大 4
S
s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2 πrl 则 对(1)
r < R1
∑ q = 0, E = 0
(2)
R1 < r < R2 E= λ 2 πε 0 r
沿径向向外
∑ q = lλ
∴
(3) ∴
r > R2
∑q = 0
E=0
题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 σ 1 和 σ 2 ， 试求空间各处场强． 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 σ 1 与 σ 2 ， 两面间， E =
4π 3 3 (r − r内 ) 3
r = 8 cm 时， ∑ q = p
ρ
∴
E=
4π 3 2 r − r内 3 ≈ 3.48 × 10 4 N ⋅ C −1 ， 方向沿半径向外． 2 4πε 0 r
(
)
r = 12 cm 时, ∑ q = ρ ρ
∴
4π 3 3 (r外 − r内 ） 3
E=
4π 3 3 r外 − r内 3 ≈ 4.10 × 10 4 N ⋅ C −1 沿半径向外. 2 4 πε 0 r
dE P =
1 λdx 4 πε 0 (a − x ) 2
E P = ∫ dE P =
=
λ 4πε 0
∫
l 2 l − 2
dx (a − x ) 2
λ 1 1 [ − ] l l 4 πε 0 a− a+ 2 2 λl πε 0 (4a 2 − l 2 )
=
用 l = 15 cm ， λ = 5.0 × 10 −9 C ⋅ m −1 , a = 12.5 cm 代入得
对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 Φ e = 如果它包含 q 所在顶点则 Φ e = 0 ．
如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图
题 8-9(a)图
题 8-9(b)图
题 8-9(c)图
(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 的电通量，球冠面积*
R 2 + x 2 的球冠面
0
α
= 2 πr 2 (1 − cos α )
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 10 −5 C·m-3 求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 E ⋅ dS =
∫
�
�
s
∑ q , E 4πr
ε0
�
2
=
∑q
ε0
当 r = 5 cm 时，
∑q = 0, E = 0
说，因为 f = qE , E =
q q2 ，所以 f = ．试问这两种说法对吗?为什么? ε 0S ε 0S
f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的， 第二种说法把合场强 E =