弹簧振动周期研究摘要:本文先通过对弹簧质量被忽略和不被忽略两种情况的研究得出弹簧周期的理论公式，再通过实验（弹簧质量小于振子质量）计算出m前的系数约为0.3～0.35，与理论值相符。

实际弹簧振子的运动并不是总是简谐运动，它只有在其他级别（n>1）的振动可以忽略的情况下，才能将弹簧的运动看作简谐运动。

其他情况的振动的强弱取决于弹簧质量与弹簧振子质量的比值。

关键词：弹簧质量；弹簧振子；周期引言:在弹簧质量不可以忽略时对弹簧振子周期的影响，有大批人士从不同角度加以研究[1-10]，他们将弹簧视作质量均匀的介质，或利用波动方程 [1,2]，或将弹簧看作一系列离散化的小的弹簧振子进行研究[6,7]。

在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情况下[1,2,5,6]都得出弹簧振子周期T=kmM 32+π，k 为弹簧劲度系数，M 为弹簧振子质量，m 为弹簧质量，附加到弹簧振子的m/3叫弹簧的有效质量。

我们是否也可以猜测弹簧振子的振动模式存在差异？各种模式的振动频率之间也都不成有理数的倍数关系[8]？文献[9]]对弹簧质量m/3修正的问题存在异议，有的认为1/3仅仅是0.346的近似值.文献[3]采用最优化及多元线性回归，并根据实验数据得0.4900.503(0.369)6.669T M m k-=+ 。

文献[4]依据能量分析方法得出有效质量应该介于m/3～m/2之间，同时引入有效弹性常量介于28kkπ之间。

文献[1,2,7]指出存在无穷多的振子，其ϖ满足M m k m tg k m =)()(ϖϖ。

本文分别探究了不考虑弹簧质量时，和考虑弹簧质量时，这两种情况下产生的差异以及影响，同时还进一步分析了实际弹簧振子周期和理论值得差异，更完善的研究了弹簧振子的振动规律。

11、未考虑弹簧质量（理想弹簧）的弹簧振子周期如图所示，当未考虑弹簧质量时，弹簧的原长为l ，末端系一个质量为M 振动物体。

假设水平面是光滑的，没有摩擦，弹簧和振动物体在放在水平面上，物体受到的力是回复力F kx =-，物体做往复的周期性运动。

其运动过程中忽略空气摩擦阻力的影响。

在下图中：①图弹簧未伸长，静止在水平面上，物体受力0F =。

②图弹簧向右运动，弹簧伸长x ，物体受力为F kx =-。

③图弹簧未伸长静止在水平面上，物体受力0F =。

④图弹簧向左运动，被压缩x ，物体受力F kx =-。

其中负号(-)表示物体受力与运动方向相反。

选弹簧运动的一个周期为研究条件。

1本文受内蒙古民族大学科研项目NMD1220支持在一个周期中，如果弹簧所受的力超过了弹簧的最大的承受力，弹簧将受到损坏，将失去它的周期性能。

因此在做研究时，要保证弹簧所受的力在正常范围内，这也是保证研究结果能正确的一个先决条件。

对于物体M ，当弹簧所受的力在正常范围内时，由牛顿第一定律可知，kx td x d M-=22式⑴ 其中k为弹簧的劲度系数。

我们将⑴式转化一下，用M 除⑴式，设ϖ2=Mk ，k 和M 都一定时，对于弹簧振子来说，ϖ为常数，所以⑴式可以改写为0222=+ϖtd x d 式⑵ ，⑵式为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征根为022=+ϖλ 解特征根方程得到 ：第一个解为ϖλi =1 ，第二个解为ϖλi -=2。

则⑵式的通解为：t c t c x ϖϖsin cos 21+= 令ϕϕcos ,sin 21A c A c ==则通解变为t A t A x ϖϕϖϕsin cos cos sin +=，)sin(ϕϖ+=t A x ，ϕ为初相，A 为振幅。

又根据正弦函数的周期性得：)sin(ϕϖ+=t A x 和)2sin(πϕϖ++=t A x 的运动形式完全一样。

而)2sin(πϕϖ++=t A x 和))2(sin(ϕϖπϖ++=t A x 即在t 时刻和ϕπ2+t 时刻，振子的运动是一样的。

所以ϖπ2是振动周期，用T 来表示T = ϖπ2因为Mk =ϖ2所以Mk=ϖ，k MMkT ππϖπ222===⑶，⑶式就是在不考虑弹簧质量的情况下得出的弹簧振子周期公式。

22.考虑弹簧质量后弹簧振子的周期如下图I 、II 所示，假设弹簧质量为m ，弹簧的自然长度为l ，物体M 任然在水平面上振动。

弹簧是均匀的其质量也是均匀分布的。

假设任一点到o 点的距离为s ，（0≤s ≤l ）假设s 到s ds +之间有一个弹簧元，它的质量是：ds lMdM =如果弹簧振子m 产生了一个x 的位移，dM 也将发生一个位移。

如果把dM 的位移和m 的位移相比，很容易得到dM 的位移远小于m 的结果（其中m 的位移对应的是整个弹簧的伸长量，dM 的位移只是对应弹簧中任一点到o 点的伸长量）。

又因为0≤s ≤l ，所以dM 的位移必然小于m 的位移。

为了简单合理的计算出dM 的位移，我们假定弹簧各部分所发生的位移与它们到固定点o 的距离成正比。

则dM 发生的位移x l sc = 当s l =时，c x =，即为m 位移；当0s =时，0c =，即为固定点所在位置；显然x lsc = 是符合的。

下面我们计算dM 这一小段弹簧元的动能：ds s dt dx lM dt dx l s ds l M ds l M dM E d k 22322)(21)()(21)()(21===将上式两边积分，右边只对s 积分，其余看作常数，便可使弹簧在任意给定时刻的总动能为:)(321)(61)(2122022dsdxM dt dx M ds s dt dx lM E lk ===⎰其系统的总能量为：x k dt dx m dt dx M E 22221)(321)(21++=即:E x k dt dx M=+22*21)(21式⑷，式3*mM M+=，x k 221为弹簧振子的弹性势能。

⑷式和忽略弹簧质量时的能量表达式一样。

未考虑弹簧质量时，系统的能量表达式为：x k dtdx M E 2221)(21+= 式⑸，而其微分式为： kxtd x d M-=22周期是：kM T π2=对比分析，我们可以得到，考虑弹簧质量后的运动微分式：kxtd x d M-=22*式⑹，将M *除⑹式两边，并设ϖ20*=Mk，k 和M *都一定时，对于弹簧振子来说，ϖ0为常数，所以⑴式可以改写为02022=+ϖtd xd式⑺ ，⑺式为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征根为0202=+ϖλ解特征根方程得到：第一个解为ϖλ01i = ，第二个解为ϖλ02i -=。

⑺式的通解为：t c t c x ϖϖ020sin cos 1+=令ϕϕ0201cos ,sin A c A c ==则通解变t A t A x ϖϕϖϕ0000sin cos cos sin +=即 )sin(00ϕϖ+=t A x ，ϕ0为初相，A 为振幅。

又根据正弦函数的周期性得：)sin(00ϕϖ+=t A x 和)2sin(00πϕϖ++=t A x 的运动形式完全样，而)2sin(00πϕϖ++=t A x 和))2(sin(00ϕϖπϖ++=t A x 即在t 时刻和ϖπ02+t 时刻振子的运动是一样的。

振动周期02T πϖ=因为Mk *20=ϖ所以Mk *0=ϖ因此式⑻即 km M T 32+=π式⑼ 由此得出考虑了弹簧质量后的弹簧振子周期公式。

其值大于未考虑弹簧质量时的周期。

这个公式我们也可以看成是在M 的基础上加上3m 后得出来的周期公式。

3.雷利法进一步论证前面已经求证出不忽略弹簧质量时的振子周期公式k m M T 32+=π，为了使结论具有更可靠性，我们可以利用雷利法再次论证一下，验证一下结果是否同样。

我们把弹簧看作是均匀的弹性杆，同时只有纵向振动。

设弹簧长为L ，横截面积为S,其质量为m ，在振幅不怎么大的情况下，其密度可以表示为 SL m⨯=ρ当有外力时，弹簧受力F ∆，伸长L ∆，可以算的劲度系数：LF k ∆∆=。

又根据杨氏模量E 的定义：L L E S F ∆=∆，将LFk ∆∆=式带入LL E SF ∆=∆式可以得到，LS E k =。

弹性杆做纵向运动时，其波动方程可以表示为y d x d E t d xd 2222ρ=，如下图：E 为杨氏模量，ρ为弹簧密度，x 为弹簧上一点到原点y 的位移。

根据前面的密度表达式，可以将波动方程化为:yx Ltxm 22222222∂∂=∂∂ϖ其中mk m=ϖ现在考虑边界条件，当弹簧没有位移时得到一个边界条件⑴0,0==x y 由于M 的运动由弹簧的弹性力决定，依据牛顿第二定律：)()()22(00y x SE F t xM y y y ∂∂==∂∂===消去E 后可以得到另外一个边界条件：⑵L y =时，)()22(y x kL t xM Ly Ly ∂∂-=∂∂==，采用分离变量法可以解满足以上两个边界条件的波动方程。

令)()(),(t y t y x νμ=，将波动方程化t d t d t y d y d y Lm222222)()(1)()(1ννμμϖ=，它们等于一个与y 和t 无关的常数。

即：ϖννμμϖ2222222)()(1)()(1-==td t d t y d y d y L m，可以将这个方程化为两方程。

①022222=+μϖϖL yd udm 和②0222=+νϖνt d d 解①和②得)cos(11a y L A m +=ϖϖμ和)cos(22a t A +=ϖν，将μ和ν带入波动方程可以解)cos()cos(21a t a Ly A x m++=ϖϖϖ根据边界条件⑴0,0==x y 得)cos(cos 021a t a A +=ϖ，21π±=a 进而推出)cos()cos(2a t LyA x m+=ϖϖϖ再根据边界条件⑵)cos(sin )22(22a t A t x m Ly +-=∂∂=ϖϖϖϖ)cos()cos()(2a t L Ay x m m L y +=∂∂=ϖϖϖϖϖ带入)()22(y x kL t xM Ly Ly ∂∂-=∂∂==式，依据此式得到：)cos()sin(ϖϖϖϖϖϖm m m k M =，其中ϖ2mm k =，又可以化为)cot(ϖϖϖϖmm M m =这是一个超越方程，可以用如下图求解。

图中标出的是)(ϖϖm的前三个解，假如)(ϖϖm<π,用级数展开)cot(ϖϖϖϖm mMm =的右边解。

在 πξ<<0时 -----=472594524531cot 753ξξξξξξ]451)(31)[()cot(3---==ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖmM m M m m m m m 取前面两项得)](31)[()cot(ϖϖϖϖϖϖϖϖmm m m M m M m -==，从这个式子我们可以得到，3322m M k m M m m +=+=ϖϖ，进而3mM k +=ϖ，所以弹簧振子周期为km M T 322+==πϖπ，得出的结果和前面讨论的一样。