第七节 正弦定理、余弦定理应用举例时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a kmD ．2a km解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a . 答案B2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝ABsin45°sin30°＝3 2. 答案B3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里D ．70海里解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70.答案D4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋32 mC ．20(1＋3) mD ．30 m解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD 为正方形，CB ＝20 m ，所以BM ＝20 m ．又在Rt △AMD 中， DM ＝20 m ，∠ADM ＝30°， ∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)． ∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33(m)．答案A5．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A.1010B.105C.31010D.55解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，所以AC ＝5，再由正弦定理：sin ∠BAC ＝sin ∠ABC AC ·BC ＝3×225＝31010. 答案C6．(2014·滁州调研)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始多少h 后，两车的距离最小( ) A.6943 B ．1 C.7043D ．2解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000. 当t ＝7043时，DE 最小． 答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为________km.解析 如右图所示，由余弦定理可得： AC 2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700， ∴AC ＝107(km)． 答案 1078．如下图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.解析 设航速为v n mile/h在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°， 由正弦定理得：82sin30°＝12v sin45°， ∴v ＝32(n mile/h)． 答案 329．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中 ，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin45°＝CDsin30°， BC ＝CD sin45°sin30°＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan60°＝ABBC ，AB ＝BC tan60° ＝106(米)． 答案 10 6三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)，所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．11.如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解 由题意，知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得 DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB， 于是DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105° ＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900. 得CD ＝30(海里)，故需要的时间t ＝3030＝1(小时)， 即救援船到达D 点需要1小时． 12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝ 1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2＋70t＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．11 (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[1 25043，62514](单位：m/min)范围内．。