考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－12，又 A∈(0，π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12. 因为 0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
(2)由(1)知 cosA＝12，则 sinA＝ 23. 又b2＋2cb2c－a2＝12， 所以 bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即 bc≤a2. 故 S△ABC＝b2csinA≤a22·23＝34 3.
考点四 正、余弦定理的综合应用
已知向量 m＝(cosx4，1)，n＝( 3sinx4，cos2x4)． (1)若 m·n＝1，求 cos(23π－x)的值； (2)记 f(x)＝m·n，在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， 且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数 f(A)的取值范围．
cosA＝ b2＋c2－a2 ； 2bc
cosB＝ a2＋c2－b2 ； 2ac
式 ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC cosC＝ a2＋b2－c2 .
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
2ab
asinC＝csinA.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知三边，求
①已知两角和任一边，
各角；
故 sin2B＝34，sinB＝ 23或 sinB＝－ 23(舍去)， 于是 B＝π3或 B＝23π. 又由 b2＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝π3.
在△ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，试根据以 下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45°； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15°.
(3)法一：cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝
6＋ 4
2 .
∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(2
2)2＋(2
3)2－2×2
2×2
3×
6＋ 4
2
＝8－4 3＝( 6－ 2)2，
∴c＝ 6－ 2.
由正弦定理得
sinA＝asicnC＝2
2×
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，已知 cos2C＝－14. (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
[自主解答] (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，及 0<C<π，所以 sinC
△ABC面积的最大值.
∴4＋ab≥2ab，
即 ab≤4(当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”)， ∴S△ABC＝12absinC≤12×4× 23＝ 3， 即当 a＝b＝2 时，△ABC 的面积取最大值 3.
在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，已知 2sinA ＝ 3cosA. (1)若 a2－c2＝b2－mbc，求实数 m 的值；
解：法一：由ab＝ccoossBA，得acosA＝bcosB，
∴a·b2＋2cb2c－a2 ＝b·a2＋2ca2c－b2，
若将条件“2asinA＝(2b＋c) sinB＋(2c＋b)sinC” 改为“ab＝ccoossBA”，
∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，试确定△ABC 的形状．
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
正弦定理和余弦定理
1．(2010·湖北高考)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB
＝
()
A．－2 3 2
22 B. 3
C．－
6 3
6 D. 3
解析：依题意得 0°<B<60°，sinaA＝sinbB，sinB＝bsianA＝ 33，cosB
＝
1－sin2B＝
6 3.
答案： D
的大小为
()
A．150°
B．30°
C．120°
D．60°
解析：由正弦定理可得 b2－c2－a2＝ 3ac，由余弦定理可得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23.故角 B 为 150°.
答案： A
4．△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：∵cosC＝13，0<C<π，∴sinC＝2 3 2 ∴S△ABC＝12absinC＝4 3
2．在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6
3π
π
C. 4
D.3
解析：由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝522＋×352×－372 ＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝23π.
答案： A
3．在△ABC 中，已知 sin2B－sin2C－sin2A＝ 3sinAsinC，则角 B
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即 sinBcosA＝2sinAcosA.
当
cosA＝0
时，A＝π2，B＝π6，a＝4
3
3，b＝2 3
3 .
所以△ABC 的面积 S＝12absinC
＝12×433×233× 23＝233；
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC 可化为 2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＋c2－b2＝c2，即 a2－b2＝0， 即 a2＝b2，故 a＝b.所以△ABC 是等腰三角形．
答案：等腰三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA＝sinbB＝sincC= 2R
a2＝ b2＋c2－2bccosA ； b2＝ a2＋c2－2accosB ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC .
定 正弦定理
理
余弦定理
①a＝ 2RsinA ，b＝2RsinB ，
c＝ 2RsinC ；
变 ②sinA＝ a ，sinB＝ b ，sinC
形＝
c
2R ；
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
3×
6＋ 4
2
2 ＝3＋
3.
2
法二：在△ABC 中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，
得 12＝6＋c2－2c× 6× 22， 即 c2－2 3c－6＝0， 解得 c＝ 3±3(舍负)，即 c＝3＋ 3. ∵c>a>b，∴C>A>B， 由正弦定理得
sinB＝basinA＝2
6× 3
22＝12，
＝
10 4.
(2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，由正弦定理sinaA＝sincC，得 c＝4.
由 cos2C＝2cos2C－1＝－14，及 0<C<π 得
cosC＝±
6 4.
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 b2± 6b－12＝0， 解得 b＝ 6或 2 6， 所以bc＝＝4.6， 或bc＝＝42. 6，
6－ 4
6－ 2
2
＝
2 2.
∵a<b，∴A<B.
又∵0°<A<180°，∴A 必为锐角．
∴A＝45°，从而得 B＝120°.
法二：求 c(同法一)，
由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝2
32＋ 6－ 2×2 3×
22－2 6－ 2
22＝ 22，
又∵0°<A<180°，
∴A＝45°，从而 B＝120°.
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
所以△ABC 的面积
S＝12absinC＝12×2 3 3×4 3 3×
23＝2 3
3 .
综上：△ABC
的面积为2
3
3 .
解：由例题易知：a2＋b2－c2＝ab
又∵c＝2， ∴a2＋b2＝4＋ab
保持例题条件不变，求
又∵a2＋b2≥2ab，
∴b＝a8sin3C＝ 3
83 2×2
3
2＝2
3.
答案： 2 3
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形 状是________． 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形．
解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理得
sinB＝bsianA＝ 62×322＝12. ∵a>b，∴A>B，B 必为锐角，