D1 ABCD 称为阳马，余下的三棱锥 D1 BCC1 是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑， 已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB 2 ， BC 3， AA1 4 ，按以上操作得到阳马，则阳马的
2
最长棱长为（）
A． 2 5
B． 5
C． 29
D． 4 2
7．若 ab 0 ，则 a2 2b2 的最小值为（） ab
若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那
个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选
A.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意,以 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设正方
体棱长为
1,
P x,
y .由
DP D1P
x2 y2
x2 y2 1
x2 y 12 x2 y 12 4
9
两边同时平方,并展开可得
x2 y2 x2 y2 1
x2 y2 2y 1 x2 y2 2 y 13
9
交叉相乘,化简可得 x2 y2 18 y 9 0 55
246
2 2020
此时应该满足条件，结束循环，输出结果，
其中判断框内应填入的条件是： i 2020?
故选：
A.
【点睛】
本题考查循环结构框图的条件补充问题，注意计算要准确.
7
2．A
解析：A
【解析】
四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙
与丁中有一个是正确的；
令V ' 0 ，得 h 2 3 或 h 2 3 （舍）.
当 0 h 2 3 时，V ' 0 ，V 是单调增函数；
当 2 3 h 6 时，V ' 0 ，V 是单调减函数.
故 h 2 3 时，V 取得极大值，也是最大值.
因此，当 PO1 2 3 m 时，仓库的容积最大. 【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
A． 2 2
B． 2
C．3
D．2
8．已知数列{an}的各项均为正数， a1
2 ， an1
an
4 an1 an
1
，若数列{
} 的前 n 项和
an1 an
为 5，则 n （）
A．119
B．121
C．120
D．122
9．已知函数
f
(x)
ax2
x x2
1
，函数
g(x)
2 a cos 2x
2asin
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0 交于 P,Q 两个不同点， F
为C
的一
个焦点，若 tan PFQ 4 ， QF 5 PF ，则双曲线 C 的离心率为__________. 3
14．如图，在边长为 4 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BB1 的中点， AC BD O ，点 P 在
因为在 Rt PO1B1 中， O1B12 PO12 PB12，
所以（ 2a ）2 h2 36 ，即 a2 2 36 h2 . 2
于是仓库的容积V
V柱
V锥
a2
4h
1 3
a2
h
13 a2h 3
26 3
36h h3
0 h 6 ，
从而V ' 26 36 3h2 26 12 h2 . 3
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．下图是计算
1 2
1
1 2
1 3
1 4
1 2020
的一个程序框图，判断框图内的条件是（）
A． i 2020?
B． i 2021?
C． n 2020?
1
D． n 2021?
为
x y
2 2
2cos sin
（
为参数），以该直角坐标系的原点
O
为极点，
x
轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 3 cos 2sin ．
（1）分别求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）设直线 l 交曲线 C1 于 O ， A 两点，交曲线 C2 于 O ， B 两点，求| AB | 的长．
正方体表面上移动，且满足 OP D1E ，则点 O 和满足条件的所有点 P 构成的图形的面积是
______.
n
15．己知数列an的通项公式为 an
1
n1
2
n 2
n 3 n N ， Sn 是数列an的前 n 项和，
则
lim
n
Sn
________.
16．已知 D 为三角形 C 的边 C 的中点，点 满足 C 0 ， D ，则实数
5
【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强 化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考 的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基 本要求，需熟练掌握.
19．已知各项均为正数的数列 an 的前
CP MP
及两点间距离公式,表示出
P 的轨迹方程.即可判断轨迹的
形状.
【详解】
由题意以 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设正方体
棱长为 1, Px, y 则 C 0,1 ,
由
CM
2MC1
,可得
MC
2 3
DP CP 因为 P 在底面 ABCD内运动,且满足 D1P MP .由勾股定理及两点间距离公式代入可得
个数字表示三位数的个数为（）
A．10
B．20
C．36
D．38
5．复数 z1 a 2i ， z2 2 i ，如果 z1 z2 ，那么实数 a 的取值范围是（）
A． 1,1
B． 1,
C． 0,
D． ,1 1,
6．长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和 鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体 ABCD A1B1C1D1 ，按平面 ABC1D1 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点 与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥
x
，若 x1
(1, )
，
x2
0, 3
，使得不等式
f (x1)
g(x2 ) 成立，则实数 a
的取值范围为（）
A． (, 7 ) 10
B． ( 7 , 7) 10 8
C． ( 7 , 7) 10 8
D． (, 7) 8
10．若存在正实数 b ，使得 a b(a b) b a ，则（）
A．实数 a 的最大值为 2 1
A．圆弧
B．线段
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样
长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数 1～9 的一种方法.例如：137 可表示为“
”，
26 可表示为“ ”.现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 1～9 这 9
（ⅱ）当 FA 3 FB 时，求直线 l 的方程.
18．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1 ，下 部分的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高 OO1 是正四棱锥 的高 PO1 的 4 倍.
4
（1）若 AB 6 m, PO1 2 m, 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 6 m ，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） PO1 2 3 【解析】
n
项和为
Sn
，满足
a2 n1
2Sn
n
4
，
a2
1，
a3 , a7
恰
为等比数列bn的前 3 项.
（1）求数列 an ， bn 的通项公式；
（2）若 cn 1n anbn ，求数列cn的前 n 项和 Tn .
20．在 ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 所对的边，且 2c 3b 2a cos B ， a 7 .
（2）若函数 f x | log2 x 1| ， x 0, n ， n N* 为“ M 类”函数，求 n 的最小值.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
22．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
3t
y
3t （ t 为参数），曲线 C1 的参数方程
23．如图，□ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，
．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF 的面积为 2，求□ABCD 的面积．
6
【参考答案】 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 并输出 S 的值，模拟循环过程可得条件. 【详解】 解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： S 0, n 2, i 1 不满足条件，第一圈： S 0 1 , n 4, i 2 ，