1）布拉维格子的形态（晶胞的形态）
立方：a0＝b0＝c0；α＝β＝γ＝90°。 四方：a0＝b0≠c0；α＝β＝γ＝90°。 六方及三方： a0＝b0≠c0；α＝β＝90°，γ＝120°。 三方（菱面体，R）： a0＝b0＝c0；α＝β＝γ≠90°， 60°，109°28＇16＂。 斜方：a0≠b0≠c0；α＝β＝γ＝90°。 单斜：a0≠b0≠c0；α＝γ＝90°，β＞90°。 三斜：a0≠b0≠c0；α≠β≠γ≠90°。
99 P4mm 100 P4bm 101 P42cm 102P42nm 103 P4cc 104 P4nc 105 P42mc 106 P42bc 107 I4mm 108 I4cm 109 I41md 110 I41cd 111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2 119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc P4/mbm 128 P4/mnc 129 P4/nmm 130 P4/ncc P42/mmc 132 P42/mcm 133 P42/nbc 134 P42/nnm P42/mbc 136 P42/mnm 137 P42/nm c 138 P42/ncm I4/mmm 140 I4/mcm 141 I41/amd 142 I41/acd
对称轴的分布：
对称面的分布：
滑移面的分布(n)：1/2(a+c)
滑移面的分布(n)：1/2(a+b)
空间群投影：
4.
等效点系 (Space Group)
利用一个空间群中所有对称要素的操作， 由一个原始点推导出来的规则点系称为等 效点系。 一个等效点系在一个晶胞中的点数称为 该等效点系的重复点数。 每一个空间群的等效点系皆有专门的符 号表述，该符号称为Wyckoff符号。
3.
空间群 (Space Group)
内部对称要素的组合。 比如，点群m-3m，对应的空间群有： Pm-3m, Pn-3n, Pm-3n, Pn-3m, Fm-3m Fm-3c, Fd-3m, Fd-3c, Im-3m, Ia-3d 总共有230种空间群，对应有1——230的 编号。
晶系
三斜晶系 Triclinic 1
在立方晶系 中，若在立方格 子中的一对面中 心安置结点(如 图)，则格子的 对称程度立即降 低成四方对称， 所以，立方晶系 中不能存在立方 底心格子。
以上表明：在晶体结构中只可能出现14 种空间格子，即14种布拉维格子。
原始格子P 三斜晶系 单斜晶系 斜方晶系 四方晶系 三方晶系 六方晶系 立方晶系
晶体结构基本知识
——晶体的对称及空间群——
1.
单位晶胞 (unit cell)
晶体三维周期重复的最小单位，并且可 以在晶胞范围包含所有的晶体对称要素—— 对称面（滑移面）、对称中心、对称轴 （螺旋轴）。
2.
32点群 (point symmetry)
三斜晶系－Triclinic 点群符号 1 －1 晶胞形状：轴长不相等，轴角不相等 各符号的方位 c轴方向
单斜晶系－Monoclinic
点群符号 各符号的方位
2
m
b轴方向
2/m 晶胞形状： a<>b<>c
α＝＝90，<>90
斜方晶系－Orthohombic
点群符号 各符号的方位
222
mm
a b c
mmm 晶胞形状： a<>b<>c
α＝ ＝＝90
四方晶系－Tetrogobal
点群符号 各符号的方位
Wyckoff符号可以在 《International Tables for X－Ray Crystallography》Vol.1，1952
书中查询，也可以在网上数据库中查询。
5.4533 5.4533 5.4533 90 90 90
等轴晶 30 43（432）
系 Cubic 31 -43m
32 m3m
点群国际符号中描述晶体对称的三个方位(与空间点群相)
等轴 四方 六方 斜方 单斜 三斜
c c c a b c
a+b+c a a b
a+b a+b 2a+b c
思考：Fd-3m
P42/mnm
对称要素的方位？
D4h14-P42/mnm的晶系、格子类型、对称 要素方位如何？
四方晶系 Tetragonal
13
4mm
14
-42m
15
123 127 4/mmm 131 135 139
晶系
点群
空间群
16
17 三方晶系 Rhombohedral 18 19 20
3
-3 32 3m -3m
143 P3 144 P31 145 P32 146 R3
147 P-3 148 R-3 149 P312 150 P321 151 P3112 152 P3121 153 P3212 154 P3221 155 R32 156 P3m1 157 P31m 158 P3c1 159 P31c 160 R3m 161 R3c 162 P-31m 163 P-31c 164 P-3m1 165 P-3c1 166 R-3m 167 R-3c
2 3
点群
1
-1 2 m 2/m 222
空间群
1 P1
2 P-1 3 P2 6 Pm 4 P21 7 Pc 5 C2 8 Cm 9 Cc
单斜晶系 4 Monoclini c 5 6
10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m 15 C 2/c
13 P 2/c 14 P 21/c
16 P222 17 P2221 18 P21212 19 P212121 20 C2221 21 C222 22 F222 23 I222 24 I212121
4，－4
42，4/m，4mm
c a a ＋b
-42m, 4/mmm 晶胞形状： a＝b<>c
α＝ ＝＝90
六方晶系－Hexagonal
点群符号 各符号的方位
6，－6
－62m，62，6/m
c a 2a＋b
6mm，6/mmm 晶胞形状： a＝b<>c
α＝ ＝90, ＝120
三方晶系－Rhombohedral
21
22 23 六方晶系 Hexagonal
6
-6 6/m
168 P6 169 P61 170 P65 171 P62 172 P64 173 P63
174 P-6 175 P6/m 176 P63/m 177 P622 178 P6122 179 P6522 180 P6222 181 P6422 182 P6322 183 P6mm 184 P6cc 185 P63cm 186 P63mc 187 P-6m2 188 P-6c2 189 P-62m 190 P-62c 191 P6/mmm 192 P6/mcc 193 P63/mcm 194 P63/mmc
晶系
点群
空间群
9 10 11 12
4 -4 4/m 42(422)
75 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I41 81 P-4 82 I-4 88 I41/a
83 P4/m 84 P42/m 85 P4/n 86 P42/n 87I 4/m
89 P422 90 P 4212 91 P4122 92 P41212 93 P4222 94 P42212 95 P4322 96 P43212 97 I422 98I4122
207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I4132 215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d 221 Pm-3m 222 Pn-3n 223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d
7 斜方晶系 Orthoho mbic 8
mm(m m2)
25 Pmm2 30 Pnc2 35 Cmm2 40 Ama2 45 Iba2
26 Pmc21 27 Pcc2 28 Pma2 29 Pca21 31Pmn21 32 Pba2 33 Pna21 34 Pnn2 36 Cmc21 37 Ccc2 38 Amm2 39Abm2 41 Aba2 42 Fmm2 43 Fdd2 44Imm2 46 Ima2
立方
四方
六方
三方
斜方
单斜
三斜
2）布拉维格子中结点的分布 在平行六面体中，结点只有4种可能的分布， 与之对应的有4种格子类型。
原始格子
底心格子
体心格子
面心格子
3）14种布拉维格子 既然平行六面体有7种形状和4种格子类型，为什么不是 7×4=28种空间格子而只有14种呢？这是因为某些类型的格子彼 此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在 该晶系中存在。现举几例说明。
mmm
47 Pmmm 48 Pnnn 49 Pccm 50 Pban 51 Pmma 52 Pnna 53 Pmna 54 Pcca 55 Pbam 56 Pccn 57 Pbcm 58 Pnnm 59 Pmmn 60 Pbcn 61 Pbca 62 Pnma 63 Cmcm 64 Cmca 65 Cmmm 66 Cccm 67 Cmma 68Ccca 69 Fmmm 70 Fddd 71 Immm 72Ibam 73 Ibca 74 Imma