就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v，
x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）单位算符 （4）算符之和 （5）算符之积 （6）对易关系 （7）对易括号
（8）逆算符 （9）算符函数 （10）复共轭算符 （11）转置算符 （12）厄密共轭算符
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
如果算符Ô与Û反 对易: {Ô,Û }=ÔÛ+ ÛÔ
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（8）逆算符
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符(图3.1)就不存在逆.
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则
pˆ* (i)* i pˆ
（11）转置算符
~ 算 符Uˆ的 转 置 算U符 ˆ定 义 为 ：
d*U~ˆ dUˆ *
式 中 和 是 两 个 任 意 函
例 1： ~xx
证 ： dx* ~x
(， Uˆ)=(*， U^ *)
dxx* *| dx*x dx*x
（13）厄密算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
d
2
x, ,
dx xy
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（6）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 x
证 ( 1 )： x p ˆ x x ( i x ) i x x
( 2 )p ˆ x x ( i x ) x i i x x
pˆ x
i
x
不对易。
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
显然二者结果不相等，所以:
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
[x,pˆ]i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
引言
§3.1 表示力学量的算符
（一）算符定义
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数
u 变成 v， Ô 就是这种变
换的算符。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
1）du / dx = v ，
d / dx
反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
(I)p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， x对 易 ， p ˆx与 但 x不是 对 易 (II )p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， z对 易p ˆx ， 与 z对 而易 。
（7）对易括号
势能算符 Vˆ之和。
例如：体系Hamilton 算符 显然，算符求和满足交换率
和结合率。
交换率：Ô+Û =Û+Ô 结合率： Ô+Û+Â =Ô+(Û+Â）
（5）算符之积
若Ô (Ûψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
(3)单位算符Î
（4）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Hamilton 算符 Hˆ 等于
体系动能算符 Tˆ和
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有：
( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。 xpˆzpˆzx0 ypˆzpˆzy0 zpˆypˆyz0 pˆxpˆypˆypˆx0 pˆypˆzpˆzpˆy0 pˆzpˆxpˆxpˆz0
若算符满足
ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
（9）算符函数
F(x)
x F(n)(0) n n!
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
F(Uˆ)
Uˆ F(n)(0) n n!
n0
例如：
ei H ˆt n1![i H ˆt]n
（10）复共轭算符 n0
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成共轭复量.
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第三章 量子力学中的力学量
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 电子在库仑场中的运动 §3.4 氢原子 §3.5 厄米算符本正函数的正交性 §3.6 算符和力学量的关系 §3.7 算符的对易关系 不确定关系 §3.8 力学量期望值随时间的变化 守恒定律 §3.9 例题