对t求一次偏导：
p i p x p x
i p y p
i E p t
2 p x 2
2 p y 2
i
p t
E p
对x、y、z分别求二次偏导：
2 p px i px 2p x
p y
p
p p2 i y py 2p y
2 p pz i pz 2p x
i p z p z
2 p z 2
三者相加：
2 p x
2

2 p y
2

2 p z 2
1 2 2 2 ( px p2 p p y z)
2 p
i
2 2 2 拉普拉斯算符： 2 2 2 2 x y z
费曼 — 这些实验都是用经典方法绝对不能解释的 , 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中
物理, 科学,自然杂志，大学物理等
子弹双缝实验有否 干涉现象?为什么
h h p m
P 12 ( x) P 1 ( x) P 2 ( x)
例1：一质量为40g的子弹以1.0×103m· s-1的速率 飞行，求：德布罗意波的波长。
四、讨论
1.不确定关系是波粒二象性的必然结果
2．不确定关系是物质的客观规律 3．不确定关系在微观粒子中才明显表现出来
x 500m / s ， 例2设电子与 m 0.01kg的子弹均沿x方向运动， 精确度为 0.01 % ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
x 500104 m / s 5 102 m / s
――处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动 方程，称之为薛定谔方程。
二、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 (r , t ) 在势
场U (r , t )中随时间变化 的规律。 2．具体的势场 U (r , t )决定粒子状态变化的情况，
( r , t ) t
p2 2p
E p
p t
自由粒子:
p
1 p2 2 E 2 2
E p
p2 p 2
2 2 i p t 2
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程
粒子受到力场为：
U r, t

2 2 i p t 2
1.空间位置与动量的不确定关系
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2
2.能量与时间的不确定关系
E t / 2
三、应用举例
1.能级自然宽度
E t / 2
2. 粒子不可能同时具有确定的空间位置和动量 3.束缚粒子的最小平均动能,电子不能被束缚原子核内
电子在晶体上的衍射图样
电子双缝干涉实验(1974年, 1989年)
问题－－电子流密度小，电子流密度大各 会产生的现象？
分布无规律－粒 子性，有干涉条 纹－波动性 干涉图样 -- 反映大 量电子的统计分 布? 每次只有单电子 通过缝－可观察 到干涉条纹 波动性是每个粒 子固有的性质
STM观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特 性，光子既有能量又有动量。
原子体系的内部能量是量子化
玻尔理论困难 1.无法解释复杂原子的光谱 2.无法解释氢原子光谱的谱线强度和精细结构 3. 原子处在定态时不辐射,原子的能量是量子化. 这都是同经典理论不符的,但该理论叉是建立在经 典基础上的 我们需要新的思想!
4. 近代物理学中最重要的两个关系式
h p
E mc
2
三、戴维逊和革末实验(1927年) 1．实验装置
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
当 U=54V ， ＝ 500 ， 探测到的反射束强度 出现极大
(2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Edt f (t )
解出： f (t )
(r , t )
i Et Ce
p Ae
i ( Et p.r )
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。
( x, y , z , t )
2
t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元 dV dxdydz 内发现粒子的几率：
讨 论
dW ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) dV
具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一 定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p
h

h p
----德布罗意关系式。
E h
与实物粒子相应的波称为德布罗意波，称为德布罗意 波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
h p n k

2：角频率； n ：传播方向上的单位矢量 式中，
n
意常数。
即如果 1 2 n 、是体系可能的状态，那么它 们的的线性组合
cn n 也是体系一个可能的状态
nபைடு நூலகம்
三、定态薛定谔方程 (能量不随时间变化的状态称为定态)
设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 U (r ) 中不
显含时间t，
2 2 i U (r ) t 2
i E t
p
微观粒子的波函数为： (r , t )
2 p 仍满足方程： 2 2 p2 此时 E 2 U (r , t )
2 p
p2 2p
2 2 i U ( r , t ) 则有： t 2
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。
1.225nm 对于通过电压U加速的电子： U (V )
n 1,2
当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗 意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。
( x, y , z , t )
2
dV 1
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
§3.4 薛定谔波动方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
p Ae
i ( Et p.r )
Ae
p
i ( Et xpx yp y zp z )
波函数分离变量： (r , t ) (r ) f (t )
i df (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) E f (t ) dt (r ) 2
E为一常数
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2
(r0 , t0 )
(r , t )
3．薛定谔方程是量子力学的基本方程 ４. 非相对论的结果,不适合一切
p2 E U (r , t ) 2
0 的粒子
5．态迭加原理
如果 1 2 n、是方程的解，那么它们的的线性组
ci 为任 合 c1 1 c2 2 cn n cn n 也是方程的解，
h 1.66 10 35 m mv
§3.2 不确定原理
一、电子的单缝衍射 (1961年，约恩逊成功的做出)
x d
px p sin
px sin sin p d x
p x p x
h p
x p x p h
第三章 量子力学初步
经典力学、 经典电磁场理论、 经典统计力学
在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云
（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公 式，辐射本领在高频部分趋无穷。（2）“以太漂 移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。 物理学的革命－相对论的建立和量子力学的诞生
1900年，普朗克黑体辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦光电效应光量子 1913年，玻尔氢原子光谱原子的量子态 能量量子化的假设(1)黑体的腔壁由无数个带电的谐振 子组成的.(2)这些谐振子所具有的能量是分立的.物体只能 以 h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“ 量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
经过电场加速的电子：
1 m 2 E k 2
h hc 1.225nm 2mEk Ek (ev) 2mc2 Ek
3．实验解释
晶体结构：
n 波程差： 2d sin (2n 1) 2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
n 波程差：2d sin (2n 1) 2
自由粒子 平面波
i ( pr Et )
自由粒子的波函数
E h
h p n

p Ae
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为 E 的自由粒子。 波函数代表什么?可否测量?
干涉图像的出现体现 了微观粒子的共同特性， 而且它并不是由微观粒子 相互作用产生的,而是个别 微观粒子属性的集体贡献. 从波的观点来看，极大 值处表示波的强度大，极小 值处表示波的强度小。 用粒子的观点，强度大意味着到达的电子多，每 个电子出现几率大；强度小处意味着到达的电子少， 每个电子出现几率小。