如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
n→∞
收敛级数的基本性质 性质1 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质2 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 性质3 散性. 散性 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 性质4 于原来的和. 于原来的和. 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件 limun = 0.
∞
∞
∞
二、典型例题
例1
判断级数敛散性:
(1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
n 1 n
;
1 n
解
n ⋅n n un = , 1 n = 1 n (n + ) (1 + 2 ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
则
∑v
n=1
(3) 极限审敛法
设
数, ∑u 为正项级数
n=1 n
n→∞ n→∞
∞
果 如 limnun = l > 0 (或limnun = ∞), 或 级 则 数
∑un 发散; n=1
n→∞
∞
果 如 有p > 1, 使 limnpun存 , 得 在 级 则 数
∑un 收敛. n=1
∞
比值审敛法(达朗贝尔D Alembert 判别法) (4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
n=1 n=1
定理 如 交 莱布尼茨 果 错级 满 条 : 数 足 件
);( ⅱ (ⅰ)un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ)limun = 0, 则
n→∞
级数收敛, 级数收敛, 且其和 s ≤ u1, 其余项rn 的绝对值
rn ≤ un+1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数
∑(−1)
n=1
n
∞
n−1
an
敛
设
， lim an = l > 0
n→∞
判别
1 ∑ 1+ a n=1 n
∞ n
，
1 1 1 = lim lim = n→∞ 1 + a n→∞ 1 + a 1+ l n n
n
<1
敛。 敛。
例7
(−1)n 判断级数∑ 是否收 ？如果收敛， 敛 如果收敛， n=1 n − ln n
n→∞
常数项级数审敛法 一般项级数 正项级数 任意项级数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 4.充要条件 充要条件 5.比较法 比较法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
n→∞ n→∞
∞
nn
解
（） 3 sin 5 ∑
n
∞ 1
π
5
n
un = 3n sin
π
π vn = 3n n 5 π n π 3 sin n sin n un 5 5 =1 lim = lim = lim n→∞ v n→∞ π n→∞ π n 3n n 5 5n ∞ ∞ n π vn = ∑3 n q = 3 < 1 ∑ 5 5 n=1 n=1
1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ x
∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞
根据级数收敛的必要条件，原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
nπ ∞ ncos 3; (2) ∑ 2n n=1
2
解
nπ n cos 3 < n, un = 2n 2n
2
n 令 vn = n , 2
un + 1 是正项级数,如果 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 设 ∑ un 是正项级数 如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛 ρ > 1时级数发散 ρ = 1 时失效
∞
(5) 根值审敛法 (柯西判别法) 柯西判别法)
设
∑u
n =1
∞
是正项级数, n 是正项级数,
2 n→∞
∞
解
已知lim n2an 由
n→∞
n=1
1 所以级数 an敛散性同级数 ∑ ∑n2 n n=1 ∞ =1
1 而级数 ∑ n2 收敛 n=1
∞ n=1
∞
an = lim = l(l > 0) n→∞ 1 n2 ∞
故：级数 an收敛。 ∑ 收敛。
例 已 an ≥ （ = 1 L 且 an收 ， 考 4. 知 0 n ,2, ), ∑ 敛 试 察
例 设 n > 0(n =1,2,L an 单 递 ， (−1)n−1an发 , 6. a ), 调 减∑ 散
n=1
∞
1 判 ∑ 别 敛 性 的 散 。 解 n=1 1+ an {an} 0, 设 {an}单调递减
设lim an = l(l ≥ 0)。
n→∞
∞
n
。
l =0 ，
判别 ，
(2)
∞
比较审敛法的极限形式
∞
un 设∑un 与 vn 都 正 级 ,如 lim ∑ 是 项 数如果n→∞ v = l , n=1 n=1 n
(1) 则 当0 < l < +∞时,二 数 相 的 散 ; 二 级 有 同 敛 性
l (2) 当 = 0时 若 ，
∑v
n=1 ∞
∞
n
敛则 收 ,则
∑u 收敛;
v n +1 n + 1 2n n+1 1 Q n lim lim = n→+∞ n+1 ⋅ = lim = < 1, → +∞ v n→ +∞ 2 n 2 n 2 n n 根据比较判别法， 原级数收敛． ∴ ∑ n 收敛 , 根据比较判别法， 原级数收敛． n=1 2
∞
ln(n + 2) (3) ∑ (a > 0). 1n n=1 (a + ) n n ln( n + 2) 1 n u = lim 解 lim n lim = n n ln( n + 2) , n→ +∞ n→ +∞ 1 a →+∞ a+ n n Q n ≥ 2 时, n + 2 < e , 从而有
n=1 n
∞
(3) 当l = +∞时, 若
∑v
n=1
n
散则 发 ,则
∑u 发散;
n=1 n
∞
2、正项级数及其审敛法
定义
∑u ,
n=1 n
∞
un ≥ 0
审敛法 正项级数收敛 ⇔部分和所成的数列 sn有界. (1) 比较审敛法
若
∞
∞
∑un 收敛(发散)且v n=1
敛 散 n 收 (发 ).
n
≤ un (un ≤ vn ),
n =0 n→ n2 + 1 ∞
(
1 − x2
)
2
≤ 0( x ≥ 1)
故 由 *） （ ） 级 条 收 。 ：（ 、 ** 原 数 件 敛
1
n +1
解
2
un =