则 (1) 当 0 l 时 ,二 级 数 有 相 同 的 敛 散 性 ; (2) 当 l 0 时 ， 若
v
n1

n
收 敛 ,则
u
n1

n
收敛;
(3) 当 l 时 , 若
v n 发 散 ,则 u n 发 散 ; n1 n1
( 3 )极 限 审 敛 法
I上 称 为 定 义 在 区 间 的 ( 函 数 项 ) 无 穷 级 数 .
(2) 收敛点与收敛域
n 1
x I ( x ) 如 果 , 数 项 级 数u 收 敛 , 0 n 0
n 1x 则 称 为 级 数 的 收 敛 点 , u ( x ) 0 n


( 4 ) 比 值 审 敛 法 ( 达 朗 贝 尔 D ’ A l e m b e r t 判 别 法 )

u n 1 u lim ( 数或 ) 设 是 正 项 级 数 , 如 果 n n u n 1 n
则 时 级 数 收 敛 ; 时 级 数 发 散 ; 时 失 效 . 1 1 1
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 S S,则级数收敛 ; n 2. 当 n ,u 0 ,则级数发散 ; n 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
5.比较法 6.比值法 7.根值法
2、正项级数及其审敛法
定义
un, n1
n
s u r 级 数 收 敛 ,且 其 和 余 项 绝 对 值 1,其 n的
r n u n 1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
u u 定 理 若 收 敛 , 则 收 敛 . n n
n 1 n 1

n 0


定 义 : 若 收 敛 , 则 称 为 绝 对 收 敛 ; u u n n
u 设 为 正 项 级 数 , n
n 1

n

lim nu l 0 lim nu 如 果 ( 或 ) , n n
n
则 级 数u 发 散 ; n
n 1


p lim n u 如 果 有 ,使 得 存 在 , p 1 n n
则 级 数 u 敛 . n收
n 1

un 0
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的 s 有界 . n
(1) 比较审敛法

v u ( u v ) 若u 收 敛 ( 发 散 ) 且 , n n n n n
则 v 敛 ( 发 散 ) . n收
n 1


n 1
(2)

比较审敛法的极限形式

un l, 设 u n 与 v n 都 是 正 项 级 数 ,如 果 lim n v n1 n1 n
n 1

u u u 若 散 , 而 敛 ,则 称 条 件 收 敛 . n发 n收 n为
n 1 n 1 n 1



5、函数项级数
(1) 定义

u ), u ), ,u ), I R 设 是 定 义 在 上 1(x 2(x n(x
u )u ) u ) 的 函 数 , 则 1(x 2(x n(x
n
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
u 0 . 级数收敛的必要条件: lim n n
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义
u u u u u n 1 2 3 n n 1

u u u u 级数的部分和 s n 1 2 n i
i 1

n
级数的收敛与发散
lim s 常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) 存 在 ( 不 存 在 ) . n
(5) 根 值 审 敛 法 (柯 西 判 别 法 )
设 是 正 项 级 数 , u n
n 为数或 ) lim u ( 如 果 , n n

n 1

1 1 1 则 时 级 数 收 敛 ; 时 级 数 发 散 ; 时 失 效 .
3、交错级数及其审敛法
二、典型例题
例1
(1) 判断级数敛散性 :


n1
n
n
1 n
1n (n ) n
n
;
解
n n n , un 1 n 1 n (1 2 ) (n ) n n
1 n
1 n
1 2 1 1 n nn 0 lim ( 1 ) lim [( 1 ) ] e 1 ; 2 2 n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{ lim ln x } n x x x
定义

正 、负项相间的级数称为交错级数.
n 1
( 1 ) n 1
u 或 ( 1 )u ( 其中 u 0 ) n n n
n n 1

莱 布 尼 茨 定 理 如 果 交 错 级 数 满 足 条 件 :
lim u u n1 ,2 ,3 , ); (ⅰ ) (ⅱ ) ,则 n 0 n u n 1(


n 1

函 数 项 级 数 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , u ( x ) n
n 1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3)
和函数
x 在 收 敛 域 上 , 函 数 项 级 数 的 和 是 的 函 数 , s ( x ) s ( x ) 称 为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
1 0 exp{ lim } e 1 ; x x
lim u 1 0 , n n
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
n cos n (2 ) n 3; 2 n 1
2
解
n ncos n 3 u n, n n 2 2