由 bn an cn 得 0 an bn cn bn ，而 cn bn 收敛，由比较原则得 an bn ，
因此 an 收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由 cn 收敛得 an 收敛）
1
1
2）不一定，例如 bn
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0
收敛，而级数
1111
是发散的．但级数加括号后发散，则原级数一定发散.
5．级数 un 收敛，与 lim un 0 有什么关系？ n
答： un 收敛
lim un
第十二章 数项级数习题课
一 概念叙述

1． un 收敛于 S 部分和数列Sn 收敛于 S lim Sn S n n1
2． un 收敛的柯西准则 0, N 0, m, n N , 有 um1 um2 un ．
3． un 发散的柯西准则 0 N ， m0 ( N ) ， p0 ，有
n
un 1 n 1
n
n
un1 q 1 ． un
9．如何判断正项级数的敛散性？
答：1）先判断 un 的通项 un 的极限是否为 0，若 lim un 0 ，则 un 发散，若 lim un 0 ，
n
n
则需继续判断； 2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性： 若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式； 若通项含有阶乘连乘 n 次幂等因子时用比式判别法的极限形式； 若通项含有 n 次幂因子时用根式判别法的极限形式； 若通项非负单调用积分判别法. 若上述方法失效用比较原则（例如含 sin n 等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛
un 收敛的柯西准则 0, N 0, n N , p 0, 有 un1 un2 un p ．
1
例如，级数 ，对每个固定的 p ，都有
n
1 1
1
1
1
1
lim

lim lim lim
0，
n n 1 n 2
， cn n
， an 0 ，
n
an 收敛，
假如还有条件 bn 0 ，则 an 发散，这由比较原则得到.
8．设
un
为正项级数，且 un1 un
1 ，则级数
un 收敛吗？
1
答：不一定，例如
1 满足 un1 n 1 n源自 1 ，但1发散，因此一定要强调
（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原 来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．）
当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变． （去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的 有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．） 如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序， 其收敛性不变，且和也不变． （绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性 与相同的和； （在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形， 如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和 （如有的话）也不变．
2.级数 un ， vn ， un vn 的敛散性有何联系？
答：1）若 un 与 vn 都收敛，则 un vn 收敛，且 un vn un vn ；
2）若 un 与 vn 中有一个收敛有一个发散，则 un vn 发散；
um0 1 um0 2 um0 p0 0
二 疑难解析与注意事项
1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结 合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？
答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到 的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同．
n

0
，但
lim
n
un
0
un 发散．
6．若级数
un
对每个固定的 p 满足条件 lim
n
un1 un p
0 ，则级数
un 一定收
敛吗？ 答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的 p ，可找到与任给正
数 有关的 N （这里一般与 p 还有关），使得当 n N ，有 un1 un2 un p ，而
n p n n 1 n n 2
n n p
1
但级数 发散.
n
7．1)若 bn 和 cn 都收敛，且 bn an cn ，则 an 收敛吗？
2)若 bn 和 cn 都发散，且 bn an cn ，则 an 发散吗？
答：1) 若 bn 和 cn 都收敛，且 bn an cn ，则 an 收敛.
3）若 un 与 vn 都发散，则 un vn 可能收敛可能发散．
例如，

1 n
,



1 n

都发散，但


1 n

1 n


0
收敛，

1 n
,

1 n
都发散，但


1 n

1 n



2 n
发散．
3.设级数 un ， vn 都是发散级数，则 unvn 发散吗？
答：不一定， unvn 可能收敛，可能发散．
11
1 1 1
例如， ,
nn
都发散，但


n

n



n2
收敛．
n, n 都发散， n n n2 也发散．
4．若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？ 答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如