7. 微分方程 2e2 x sin ydx (e2 x cos y y 2 )dy 0 的通解为：________________。
A1
z z x 8. 设 z ln tan ，则 x y _________________。 y y z 3 0 平行。
六、 （第 16 题 8 分，第 17 题 10 分，共 18 分） 5n 1 16.求级数 ( 1)n 1 n 的和。 3 n 1 17.将函数 f ( x) (1 e x )2 展开为马克劳林级数，并求 f ( n ) (0) ， n 1,2,... 。 七、 （本题 8 分）
( 1)n ( x 2)2 n 1 的收敛区域为：__________________。 n n 1

10.（利用 ln(1 x) 的幂级数展开式计算： ） 定积分 0
1 ln(1
x)
x
。 dx ____________________________（答案用级数表示）
三、 （本题 8 分） 11.曲线 C 是圆柱面 x 2 y 2 2 与平面 x y z 2 的交线， 求曲线 C 的参数方程，并求原点到此曲线 C 的最短距离和最大距离. 或 直接求原点到此曲线 C 的最短距离和最大距离. 四、 （每题 8 分，共 16 分） ydx xdy 12.计算曲线积分 C ，其中 C 为封闭曲线 | x | | y | 1上从点 A(1, 0) 到 3(| x | | y |)
1 18.设级数 ak x k 在 [0,1] 上收敛， f x an x n ，证明：级数 f ( ) 收敛。 n k 2 n 2 n 1
A2
z y x 3 ； y x z z y x 1 ； y x z
（B） （D）
z y x 3； y x z
z y x 1。 y x z
2. 向量场 F ( x y, yz,3z 2 x) 在点 (1, 1,2) 处的散度 divF |(1,1,2) （A） (1,2, 1) ； （B） (1,2,3) ； （C）2；

(4) 若级数 un 收敛，且 lim
n 1

vn 0 ，则级数 vn 收敛。 n u n 1 n
（A）4；
（B）3；
（C）2；
（D）1。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分)
x 2 y 2 e2 z 6. 曲线 C : 在点 (1, 0, 0) 处的切线为：_____________________。 3 x y z 3 0
B(0,1) ，再到 C (1,0) 的有向折线段。
13.求双曲抛物面 S : 2 z x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 1 截下部分曲面的质量，已知曲 面 S 上任一点 ( x, y, z ) 处的质量面密度为 6 x 2 y 。 五、 （每题 10 分，共 20 分）
2012 级高等数学第二学期期末试卷（A 类）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 F ( x, y, z ) 连续可微，Fx Fy Fz 0 ， 方程 F ( x, y, z ) 0 可确定连续可微的隐 函数 z z( x, y ) ， y y( z, x) ， x y( y, z ) ，则 （A） （C） （ ）
1 4 1 14.设 为任意闭曲面， I ( x x 3 )dydz y 3dzdx (3 y z 3 )dxdy ， 3 3 3 外侧
(1) 证明： 为椭球面 x 2 4 y 2 z 2 1 时， I 达到最大值； (2) 求 I 的最大值。 15. 求 抛 物 面 z x 2 3 y 2 在 某 点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面 ，使其与平面
n0 n0
（
）
（D）6。 （ ）
3. 设级数 an 绝对收敛，则幂级数 an x n 的收敛半径 R 为： （A） R 1 ； （B） R 1 ； （C） R 1 ； （D） R 1 。 4. 下面 3 个命题中，正确的命题个数为： (2) 若 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在，则 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续；
（
）
(1) 若 f ( x, y ) 在闭区域 D （ R 2 ）上连续，则 f ( x, y ) 在 D 上有界；
f |( x , y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处可微。 l 0 0 （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 5. 下面 4 个命题中，正确的命题个数为： （ ）
(3) 若对任意 l ，方向导数
(1) 若级数 un 收敛， vn 发散，则级数 (un vn ) 发散；
n 1 n 1
n 1



1 (2) 若级数 un 2 收敛，则级数 ( un ) 绝对收敛； n 1 n n 1 u (3) 若 lim n 1 0 ，则级数 un 收敛； n u n 1 n