• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
完成后的投影图
动画
常见错误
二、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的 形状不同。
截平面垂直于圆锥轴线，倾角为θ=90ο，截交线为圆形。
Pv
圆锥截交线
（1）当截平面垂直于圆柱体的轴线，截断面为圆。
截平面与圆锥轴线倾斜，倾角θ>α截交线为椭圆。 α
Pv
圆锥截交线
（2）当截断面与圆柱体的轴线所成的角大于半 锥角时，截交线为椭圆。
截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角θ=α截交线为抛物线。
Pv
圆锥截交线
（3）当截断面与圆柱体的轴线所成的角等于半 锥角，即截断面与圆锥体的素线平行时，锥面和 截断面的交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线平行或倾角θ<α，截交线为双曲线。
a
•
kc
• ••
圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥 轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截 交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正 面投影为直线。
完成后的三视图
动画
例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。
a' g'h'd'e'• f '• • • • b' (c')
a" • e"c"• • • • • b" d" h" f " g"
§4--2 平面与回转体相交
截交线的性质：
截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。 截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转 体轴线的相对位置。 求截交线的方法和步骤： 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截 平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。
a' •
•• k'l'
d" • l" •
b" • • •
最低点A；圆锥体的前后 • c" •k"
素线与截交线的正面投影
的交点c'd'重影为一点，其 余两面投影根据投影关系
a"
ld • ••
•
求出；截交线的最前点K
• b 和最后点L，正面投影重影 于a'b'的中点。 2、求一般点。 3、光滑连接各点的同面投 影。
一、平面与圆柱体相交 截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴 线的相对位置。
P
PH
截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
例1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 2" •
动画
根据立体图绘制三视图
【形体分析】槽的侧面P为侧平面，并和圆锥的轴线平行， 所以，P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映 实形。槽的上面R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以， R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧 的半径可从主视图上求得。
动画
三、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交 线的投影可能是圆、直线或椭圆。 1、截平面为平行面
作图：1、求特殊点 截交线的最低点A和最高点B
e'
是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平
投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投 影轮廓线的水平投影上。 a' b'的中点c' d'是截交线 水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影 cd投影在辅助纬圆上。 e' f'是截交线与球的水平投 • b 影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的 水平投影轮廓线上。
截平面为正平 面，正面投影为截 交线圆的实形。
Ph
2、截平面为水平面
Pv
3、截平面为垂直面
截平面为水平面，水平 投影为截交线圆的实形。
截平面为正垂面，截交线的 水平投影及侧面为椭圆。
例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。
b' g'(h' ) • c'(d') • (f ') •
分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影 为直线，水平投影为椭圆。
e
h • • • C •a • g • • d b
• f
分析：顶尖头是由相连的圆锥 体和圆柱体被两个平面截切 而成，轴线为侧垂线，截平面 分别为侧平面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直， 与圆柱的截交线为圆弧，正面 投影为直线，侧面投影为圆弧 的实形。 水平面与圆柱的截交线为 开口矩形，与圆角度的截交线 为双曲线，其正面和侧面投影 均为直线 。
7"
) •(4" 6"
5
•
d •
9Leabharlann b••3 • 1
侧平面与圆柱轴线垂直，截交 线为圆弧，其正面投影为直线， 侧面投影为圆弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜， 截交线为部分椭圆，正面投影 为直线，侧面投影与圆重合。 水平面与圆柱轴线平行截 交线为矩形，正面、侧面投影 均直线。
6
•
•
4
8
•
c
•
•2
a
动画
完成后的投影图
Pv
圆锥截交线
（4）当截断面与圆柱体的轴线平行时，锥面和 截断面的交线为双曲线。
截平面过锥顶截交线为三角形。
Pv
圆锥截交线
（5）当截平面过锥顶，截断面为等边三角形。
例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆 锥体的水平投影和侧面投影。 Chap3-2
作图：
1、求特殊点 最高点B
c'(d ')• b'
1' •
• 1"
• c" •3" • a"
4 b• •
•d
1• a• • 3
•2
•c 动画
作图过程：
求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最 后点可确定出椭圆长短轴的 端点。 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别求 出水平面和侧面投影。 光滑地连接各点。
例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
1'
·
3" • b" • d" 9" •
1"
·
• 2" • a" c" • 8"
(3') • 2' c ' a' • (d') (b ') 8' • • 6'(7 ') 4 ' (9 ') • • (5') 7
•
分析：圆柱的轴线是侧垂线， 截断体分别由侧平面、正垂面、 水平面截切圆柱体而成的。
(5")•
例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" • • • • 3'（4'） 4" • 5" 分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。
段圆弧的侧面投影重合。
a'
d f h • ••
a• ec
• •• g
2、求一般点
选择适当位置作辅助水平面，与ab
的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水 平投影g、h投影在辅助纬圆上。
例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
分析：半球的通槽由三个平面构成，
一个水平面和两个侧平面截切圆球
它们与球面的截交线都是分别平行于 投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧 的半径；可根据截平面位置确定。 1、通槽的水平投影作图：过槽底部 作辅助水平面，水平投影为圆，并在 圆周上截取与正面投影相对应的前后 两段圆弧。 2、通槽侧面投影的作图：两侧平面 距球心等远，两圆弧的半径相等，两