高二数学理科试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(原创)在复平面内，复数)21(i i z -=的共轭复数为 A ．i --2 B.i -2 C.i +-2 D. i +22.(原创)若2017201722102017)21(x a x a x a a x ++++=- ，则=+++2017321a a a aA ．2 B. 1 C.1- D. 2-3.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0（R b a ∈,）”,假设的内容是 A.b a ,至少有一个不为0 B.b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D.b a ,中只有一个为04.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推理错误的原因是A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误5.(原创)已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ,68.0)4(=≤ξP ,则)2(≥ξP = A.84.0 B.68.0 C.32.0 D.16.0 6.(原创)已知函数2ln )(+=x a x f ，2)('=e f ，则a 的值为 A ．1- B.1 C.e 2 D.2e7.观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b aA ．28 B.76 C.123 D.1998.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则)|(A B P 等于A.81B.41C.21D.52 9. (原创)小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡，若他至少购买一张卡，则不同的买法共有A.6种B.7种C.8种D.9种 10.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是 A.920 B.925 C.380 D.1940011.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168 12.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示下列关于函数)(x f 的命题： ①函数)(x f y =是周期函数； ②函数)(x f 在[0,2]是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点． 其中真命题的个数是A ．1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.（原创）4)2(y x +展开式中二项式系数最大的项的系数为 .(用数字作答）14.(原创)dx x x ⎰--222)sin 3(= .15.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 种.（用数字作答）16.给出下列命题：①用反证法证明命题“设,,a b c 为实数，且0,0,a b c ab bc ca ++>++>则0,0,0a b c >>>”时，要给出的假设是：,,a b c 都不是正数；②若函数()()2f x x x a =+在2x =处取得极大值，则2a =-或-6；③用数学归纳法证明*1111...(1,)2321n n n n N ++++<>∈-，在验证2n =成立时，不等式的左边是11123++； ④数列}{n a 的前n 项和c S n n -=3，则1=c 是数列}{n a 为等比数列的充要条件； 上述命题中，所有正确命题的序号为 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)(原创)当m 为何实数时，复数i m m m m m z )82(4622--+---=是 (Ⅰ)实数; (Ⅱ)纯虚数. 18.(本小题满分12分)已知函数x x x f 12)(3+-= (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数[]1,3)(-∈x x f 当时的最大值与最小值.19.(本小题满分12分)(原创)中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有9个月饼，其中莲蓉月饼2个，伍仁月饼3个，豆沙月饼 4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个.(Ⅰ)求三种月饼各取到1个的概率；(Ⅱ)设X 表示取到伍仁月饼的个数，求X 的分布列与数学期望. 20.(本小题满分12分)数列}{n a 满足)(2*∈-=N n a n S n n .(Ⅰ)计算4321,,,a a a a ,并由此猜想通项公式n a ; (Ⅱ)用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 21.(本小题满分12分)某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12.(Ⅰ)求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率;(Ⅱ)如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数ξ的概率分布列和数学期望. 22.(本小题满分12分)设函数),(ln )(2x x b ax x f -+=.)1(21)(2x b x x g -+-=已知曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与直线01=+-y x 垂直.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数)(x f 的极值点;(Ⅲ)若对于任意的),,1(+∞∈b 总存在],,1[,21b x x ∈使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围.参考答案13. 24 14. 16 15. 150 16.③④ 三．解答题17. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)当⎩⎨⎧=--≠-082042m m m ………………………………3分即2-=m 时，z 是实数； ………………………………5分(Ⅱ)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=---08204622m m m m m ………………………………7分⎩⎨⎧≠-≠-=⇒4223m m m 且或 ………………………………9分3=∴m 时，z 是纯虚数. ………………………………10分 18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) 由x x x f 12)(3+-=可得123)(2'+-=x x f ………………………2分令0)('>x f 即得22<<-x∴)(x f 的单调递增区间为)2,2(- …………………………4分令0)('<x f 即得22>-<x x 或∴)(x f 单调递减区间为)2,(--∞,),2(+∞.综上所述：)(x f 的单调递增区间为)2,2(-，单调递减区间为)2,(--∞，),2(+∞. …………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知：)(x f 在[]2,3--上单调递减，在[]1,2-上单调递增 ………………………8分又9)3(12)3()3(3-=-⨯+--=-f ……………………………9分16)2(12)2()2(3-=-⨯+--=-f ……………………………10分 111121)1(3=⨯+-=f ……………………………11分∴)(x f 在[]1,3-上的最大值为11，最小值为16- ………………………12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) 设三种月饼各取到一个的概率为P ,则 7239141312==C C C C P ………………………………5分 (Ⅱ)由题意可得：X 可能的取值为3,2,1,0 ………………………………6分215)0(3936===C C X P 2815)1(392613===C C C X P 143)2(391623===C C C X P 841)3(3933===C C X P10分X 的数学期望138412143184450215)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………12分 20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) n n a n S -=21121111=⇒-⨯==∴a a S n 时，当 ……………………………1分23222222=⇒-⨯==a a S n 时，当 ……………………………2分 47323333=⇒-⨯==a a S n 时，当 ……………………………3分815424444=⇒-⨯==a a S n 时，当……………………………4分由此猜想)(2121*-∈-=N n a n n n . ……………………………6分(Ⅱ) 证明①当1=n 时，11=a ，结论成立. ……………………………7分②假设)1(*∈≥=N k k k n 且时，结论成立，即1212--=k k k a ………………8分那么1+=k n 时，111122)1(2++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k S S a ………………10分k k a a +=∴+221kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=∴+-+ …………………………11分 所以当1+=k n 时，结论成立，综上所述)(2121*-∈-=N n a n n n 成立. ………………………………12分21. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A ，“只成功一次”为事件1A ，“一次都不成功”为事件2A ，则：1613)21()21(1)()(1)(1)(5055152121=--=--=+-=C C A P A P A A P A P故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为1316.………………6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5.则41)21()2(2===ξP ；41)21()3(312===C P ξ，163)21()4(413===C P ξ，165)21()21()21()5(514515505=++==C C C P ξ．………………10分 ∴ξ的分布列为：11分∴ξ的数学期望：)(ξE =113557234544161616⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分 22. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题可知，函数)(x f 的定义域为),0(+∞ …………………………1分)11(2)(-+='x b ax x f∴a b a f 2)111(2)1(=-+=' ………………………………3分因为曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与直线01=+-y x 垂直，故112-=⋅a ∴21-=a ………………………………4分(Ⅱ)由（I ）得x bbx x x b x x f +--=-+-='2)11()(（0>x ）00)(2=-+='b bx x x f 得令(*)b b 42+=∆①时或时，即当04-042><>+=∆b b b b (*)式有两个根.24,242221b b b x b b b x ++-=+--=当4-<b 时，.0,021>>x x）上单调递增，，（）上单调递减，在区间，在区间（1220)(x x x x f）上单调递减，在区间（∞+1x .此时为极大值点为极小值点，12x x x x == 当0>b 时，.0,021<>x x）上单调递减，（）上单调递增，在区间，在区间（∞+110)(x x x f ,此时点为极大值点，无极小值1x x = ……………………6分 ②时时，即当04-042≤≤≤+=∆b b b 无极值点。