第九章 再论实数系§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+- 求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界： sup 3,inf 0;(5) sup 2,inf 1;12(6)cos ; sup 1,inf .132n n n n n n n n x x x x x n n x x x n π=====-===-+2.(),(1)sup{()}inf (); (2)inf{()}sup ().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.x Dx Dx Dx Dx Df x D f x f x f x f x A f x i x D f x A ii x D f x A i x D f x A ii εεε∈∈∈∈∈-=--=-=-∀∈-≤∀>∃∈->-∀∈≥-∀>设在上定义求证：证明：设即有对有 对使得 于是有对有 对0,().inf (),inf (),sup{()}inf ()x Dx Dx Dx Dx D f x A A f x A f x f x f x ε∈∈∈∈∃∈<-+-==--=-使得 那么即因此有成立。

(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup (),sup (),x Dx Dx DB f x i x D f x B ii x D f x B i x D f x B ii x D f x B B f x A f x εεεε∈∈∈=-∀∈-≥∀>∃∈-<+∀∈≤-∀>∃∈>---==-设即有对有 对使得 于是有对有 对使得 那么即因此有inf{()}sup ()x Dx Df x f x ∈∈-=- 成立。

111222223.sup ,,{},lim ;,.sup ,.,;.0,,.11,,;2211,,;22n n n n E E E x x x E i E i x E x ii x E x x E x x E x ββββββεεβεββεββ→∞=∉=∈<>=∀∈≤∀>∃∈+>=∃∈≥≥-=∃∈≥≥-设且试证从中可选取数列且互不相同使得又若则情况又如何？证明：由于那么可知对有成立对使得 那么取则使得 取则使得 333330011,,;2211,,;22{},lim {}(),;,,2,,lim n n n n n n n n n n n x E x x E x x E x x N n N x εββεβββαβααβεβαβε→∞=∃∈≥≥-=∃∈≥≥-∈=-=∃=∀>-=->取则使得 取则使得 我们得到数列且由夹迫性原理可知有成立。

如果有无限个数彼此相同设等于那么必有否则可知对有使得成立这与;,{},{}(;){}..,[1,2],{2,1,3,51}n n n n x E x x x ii E E E βββ→∞=∉<>∈==矛盾但是我们知道矛盾。

因此至多只有有限个数彼此相同我们只需要将中的相同的数剔除剔除到只余一个如果还有有限个彼此相同的数,继续剔除即可就可以得到满足条件的数列如果则可能找不见这样的数列。

对于我们可以找见满足条件的数列,但当的时候,我们找不见这样的数列。

124.,,.{}lim ,{},{} .{}lim ,100,,100min{,,,,100},n n n n n n n n n N i x x a x x ii x x N n N x m x x x →∞→∞+∞-∞==+∞>>= 试证收敛数列必有上下确界趋于的数列必有下确界趋于的数列必有上确界。

证明：对于数列如果有那么可知数列必有上下界那么可知数列必有上下确界。

若对于数列如果有那么对于存在当时,有成立。

那么我们取可以知道对{}{} .,n n x x x m x iii ∈>-∞于任意可知有成立,于是数列有下界,则由确界定理可以知道此数列必有下确界。

同理可证得趋于的数列必有上确界。

5.(1); ;1(2); 1;(3); (1);1(4), (1).n n n n nn x n x nx n x n=-=+=-+=-试分别给出满足下列条件的数列：有上确界无下确界的数列含有上确界但不含有下确界的数列既含有上确界又含有下确界的数列既不含有上确界又不含有下确界的数列其中上下确界都有限.[,][,]',''[,][,][,]6.()[,],[,]sup ()inf (),[,]sup(')('').sup (),inf (); .[,],(),f x a b x a b f x x a b x a b x a b f x a b a b f x f x a b f x f x f x f x i x a b f x f ωωαβα∈∈∈∈∈=-=-==∀∈≤设在上有界定义求证：证明：设那么可知对于有121122122112();.0,'[,],''[,]('),('').22,[,],(),();(),(),()(),()()()()x ii x a b x a b f x f x x x a b f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x βεεεαβαβαβαβαβα≥∀>∃∈∈>-<+∀∈<><>-<--<--<成立对于使得 对于有于是 成立,即****1212**12**12',''[,].0,,[,],(),(),22()(),()().sup(')(''),[,x x a b f x x a b f x f x f x f x f x f x f x f x a b βεεεαβαβεαβεαβω∈-∀>∃∈>-<+->--->---=- 由于对于使得即成立故有 综上可知即',''[,]]sup(')('').x x a b f x f x ∈=-000000010107.(),11()lim ,.()()0.;()0,0,()()3f f n f f x x x x x n n f x x x f x x x x f x f x ωωωεδδε→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=∀>∃>-<-<设在附近由定义且有界定义证明：在连续的充要条件为证明：必要性如果在连续,那么对于总当的时候有 成立。

1112001011020120021112lim0,,,.211,,,,()(),3()().3110,,,,()(n N n N n n nx x x x x x f x f x n n f x f x N n N x x x x n n f x f x δδεδεε→∞=∃><<⎛⎫∀∈-+-<-< ⎪⎝⎭-<⎛⎫∀>∃>∈-+ ⎪⎝⎭- 由于因此当的时候有即 那么对于由于因此同理我们可得 综上有对于当的时候,对于有20012)()()()(),333f x f x f x f x εεε≤-+-<+=12002111,,00000002sup()(),311()lim ,0.11;lim ,0,0,0,,11,,supx x x x n n f f n f n x f x f x x x x n n x x N n N n n x x x n n εεωωωε⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭→∞→∞-≤<⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎛⎫-+=∀>∃>> ⎪⎝⎭⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭于是必有因此 充分性如果那么对于当的时候对于任意有00000011,001101()().0,,1()()sup()()()x x nn x x x n n f x f x x x n f x f x f x f x f x x εεδδε⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭-<∀>=-<+-<-<那么对于取当的时候,有成立,因此函数在点连续。

8.(),(),0, inf ()inf ()inf{()()}inf ()sup ()sup ()sup ()sup{()()}.x Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx Df xg x D f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x i ∈∈∈∈∈∈∈∈≤≤≤≤ 设在上有界且大于求证：证明：1212121212.inf (),inf ();inf{()()}.,(),().(),()0,,()();()()inf{()()},x Dx Dx Dx Df xg x f x g x x D f x g x D f x g x x D f x g x f x g x f x g x αααααααααααα∈∈∈∈===∈≥≥>∈≥=设那么对于任意有又由于在上有于是对于任意有因此是函数的一个下界,由于故有22,inf ()inf ()inf{()()}..sup ()sup ()sup{()()}..sup (),,()0,()()()inf x Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx f x g x f x g x ii f x g x f x g x iii g x x D f x f x g x f x αββ∈∈∈∈∈∈∈≤≤≤=∈>≤ 即同理可证得设于是对于任意由于因此总有成立。

于是有2{()()}inf{()}inf ()sup ()..inf ()sup ()sup ()sup ().Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx Df xg x f x f x g x iv f x g x f x g x β∈∈∈∈∈∈∈∈≤=≤ 同理可得 综上即知所证成立。

§2 实数闭区间的紧致性1.9.29.3.{},[,].{}[,],(,),{}{}(),0,,0;n n on n n n x x a b x x a b U x x x x n x x εεε∈∀∈∀>∃<-<利用有限覆盖定理证明紧致性定理证明：设数列有界令使用反证法证明：设有界数列不含有收敛子列,则存在去心邻域其中不含有数列中的项。