微积分的基本数学思想
颜有祥
（广东科技学院基础部 广东 东莞 523083）
摘要： 微积分是一系列数学思想演变的结果，我们学习微积分时，更要感悟其中所蕴藏的重要数学思 想。只有充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻的认识微积分，更好地掌握微积 分的方法。数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。微积分中最基本数学思想应该包含： 有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。正确认识无限（即：无穷）是我们学习“微积分”的 基础；以直代曲的思想可以说是微积分方法的灵魂；极限思想则是微积分的核心。 关键词 数学思想；微积分；有限与无限思想；相互转化；以直代曲思想；极限思想；
作者简介：颜有祥 男 1949.11 湖南衡东 数学教研室主任 副教授 研究方向 基础数学教学与研究
数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。我们学习微积分时，更要感悟其中所蕴藏 的重要数学思想。
二．微积分中的基本数学思想
“微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果，是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展 起来的关于连续性和无穷小量的学说。它是随着变量与函数概念的采用而逐步建立起来的，是继欧几里 得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。 ”[3]203 微积分本身就是一种数学思想，它是许多科学家的思 想结晶，蕴涵了哲学的辨证思想。由于它的博大精深，学生们在初步学习微积分的时候，往往感到很迷 茫。微积分中包含了哪些最基本的数学思想和方法，依据它们各自的功能又如何把它们分类？这是一个 很有意义，比较复杂而有待认真探讨的课题。 我认为微积分中最基本数学思想应该包含：有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。只有 充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻的认识微积分，以至于灵活运用微积分这 个数学分析的工具。 1． 有限与无限思想 对有限与无限（即：无穷）的认识是我们学习“微积分”的基础。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是 代数的扩展，它是“无穷”的代数，或者是具有无穷多个项的代数。[4]26 极限、无穷大量与无穷小量、 导数、定积分、级数等都蕴涵着无限的思想。有限与无限相比，有限是具体的，无限是抽象的，人们首 先完成了对有限的认识，而对无限的认识是有过一些曲折的过程的： 如：无限项相加 1-1+1-1+1-1+……应该是多少？ 如果运用结合律把它改写成（1-1）+（1-1）+（1-1）+ 是乎应等于 0？ 若把它改写成 1-（1-1）-（1-1）-（1-1）又是乎应等于 1？ 如果我们把它们的和设为 S，可以写出 S=1-（1-1+1-1+1-1+……）=1-S，于是又有 S=1/2？ 数学究竟怎么了？为什么会这样？经过进一步地分析研究，人们发现无限与有限是有本质区别的，我们 不能把有限范围内的规律和法则完全照搬到无限中去。我们对有限的研究已有章法可循，并积累了一定 的经验，而对无限个对象的研究.却往往不知所措。 将对无限的研究转化为对有限的研究，用有限去认识无限就成了解决无限问题的必由之路；另外， 将有限的间题转化成无限，用无限分割、无限求和的方法解决有限量问题也是微积分基本思想之一。有 限与无限的思想包含有这两个方面。 1） 通过有限认识无限：在微积分中，为了达到认识不确定的、无限的情形，常常是从确定的、有限的 情形出发的。
The basic mathematical thought calculus
Yan You xiang
（Department of Basic Courses，Guangdong Uniwersity of Science & Technology，Dongguan Guangdong 523083。China) Abstract: The Calculus is the result of a series of mathematical thought。When we are learning the Calculus, it is important to realize the mathematical thought hidden behind it.Only if you can comprehend and grasp the thoughts, you will understand the Calculus and have a good understanding of the Calculus methods well. Mathematical thought is the essence of mathematical knowledge and the bridge of translating knowledge into ability. The basic mathematical thoughts about the Calculus include definite and indefinite thought、the thought about replacing straight by curve、limit thought and so on. The correct understanding about the infinite is the basis of learning the Calculus.The thought about replacing straight by curve is the soul of the Calculus method and the limit thought is the core of the Calculus. Key words: mathematical thought ；The Calculus；definite and indefinite thought；The thought about
replacing straight by curve ；limit thought
一．数学思想
在现代汉语中，"ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ想"解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。 《辞海》中称 "思想"为理性认识。毛泽东在《人的正确思想从哪里来》一文中说："感性认识的材料积累多了，就会产 生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。”我们可以这么认为，思想是认识的高级阶段，是事物本质 的、高级抽象的、概括的认识。 数学思想，是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它 是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识[1]。 “纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于 [2] 日常的业务中。 ” 通俗地说： 数学思想就是把所学的数学知识和公式都排空以后还存留在头脑中的东西。