第7讲 抛物线【高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称 轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心 率 e ＝1准线 方程x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半 径|PF |＝ x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p 2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p 2一个结论焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A ．x 2＝－12yB ．x 2＝12yC ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析 p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y . 答案 A3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)考向一 抛物线的定义及其应用【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54. 答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 答案 A考向二 抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论． (2)抓住F A 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)． 解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y . 综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段F A 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )．A ．－33B ．±33 C ．－ 3 D ．±3解析 依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p 2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°， 即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三 抛物线的综合应用【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． [审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化． 【训练3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB→是一个定值． (1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1， 由⎩⎨⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误. 【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(2010·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ， 由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53. (1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB→＝0，求直线l 的方程． [尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)， 设M (x 1，y 1)，M 在C 2上， 因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53， 得x 1＝23，y 1＝263. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263. M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0. 解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去.故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝6(x －m )消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝16m9，x 1x 2＝8m 2－49. 因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m9＋6m 2 ＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝±2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。