《高等数学》考研模拟试卷及答案
一.填空题（每小题4分，共20分） 1.=->-x
x x 10)sin 1(lim __________________________ （e /1） 2.曲线x
x x y +=在)6,2(处的切线方程为_______ （)2)(2ln 45(6-+=-x y 或2ln 84)2ln 45(--+=x y ） 3.=-⎰dx e xe x x
1_____________________
（ C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 ）
4.半径R ，圆心角θ2的均质扇形薄片的质心距圆心的距离为____________________ （
θ
θ3sin 2R ） 5.⎰-x dt t x dx d 03)arctan(=______________________ （ 3arctan x ） 二.选择题（每小题4分，共分20分）
1.设⎰+==x
x x x g dt t x f sin 0432)(,)sin()(，则当0→x 时，)()(x g x f 是的（ B ）
A)等价无穷小 B)同阶但非等价无穷小 C)高阶无穷小 D)低阶无穷小
2.若曲线3
212xy y b ax x y +-=++=和在点)1,1(-处相切，其中b a ,为常数，则（ D ）
A)2,0-==b a B)3,1-==b a C)1,3=-=b a D)1,1-=-=b a 3.内有在则，
且在)0,()(,0)('',0)(')0(),()(-∞>>∞+--=x f x f x f x f x f （ C ） A)0)('',0)('<<x f x f B)0)('',0)('><x f x f
C)0)('',0)('<>x f x f D)0)('',0)('>>x f x f
4.二元函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 当)0,0(),(→y x 时的极限（ C ）
A)为0 B)不为0 C)不存在 D)无法判断
5.当x
x y x 1sin 0=>时，曲线 （ A ）
A)有且仅有水平渐进线 B)有且仅有铅垂渐进线
C)水平渐进线与铅垂渐进线都有 D)不存在水平和铅垂渐进线
三.若函数1)2
1
(,0)1()0()10(]10[)(===f f f x f 上可微，且，上连续，在，在。

求证在 1)(')1,0(=ξξf ，使得内至少存在一点。

(10分)
证明：
20
2/1)0()2/1()('),2/10()2/10(]2/10[)(11=--=
∈∃∴f f f x f ξξ，上可微，上连续，在，在
22
/11)2/1()1()('),1,2/1()1,2/1(]1,2/1[)(22-=--=
∈∃∴f f f x f ξξ上可微上连续，在在 1)('),1,0(),(],[)('2121=∍⊂∈∃∴∈ξξξξξξf C x f
四.求曲线)6,2(ln 在x y =内的一条切线，使得该切线与直线6,2==x x 和x y ln =所围图
形的面积最小。

(10分)
解：设切点为)ln ,(a a ，则切线为)(1ln a x a a y -=
-即1ln 1-+=a x a
y
12ln 241404162ln 26ln 6ln 416|ln ln 21)ln 1ln 1(262622-+=∴=∴=+-=+-+=-+=--+=⎰x y a a a da dS a a
x x a x x a dx x a x a S 切线为：
五.设函数)(),(2222z xyf z y x y x z z =++=由所确定，求y
z x z ∂∂∂∂,（10分） 解：令u z =2，等式两边
对x 求导：)
1(22222'/u u xyf z x yf x z x z z xyf yf x z z x --=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂+ 等式两边对y 求导：)1(22222'/u u xyf z y xf y z y z z xyf xf y z z
y --=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂+ 六.求在曲面14
2:2
22=++z y x S 上平行于平面0522:=+++z y x π的切平面方程（10分）
解：切平面法向为⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===∴t x t y t x t z t y t x 222/222},1,2,2{代入曲线方程：
2
112222±
=∴=++t t t t 切点为)1,21,1(或)1,2
1,1(--- 切平面为01)2
1(2)1(2=-+-+-z y x 即0422=-++z y x 或01)21(2)1(2=+++++z y x 即0422=+++z y x 七.求解下列常微分方程（每题10分，共20分）
1.x e
x y y y 4)1(6'5''+=+- 2.x e y xy =+' 解：(1)令x e y λ=1代入齐次方程：3,2065212==⇒=+-λλλλ，齐次方程解：x x e c e c y 32211+=
令x e B Ax y 42)(+=代入非齐次方程：41,21)1()223(44-==
⇒+=++B A e x Ax B A e x x 方程解：x x x e x e c e
c y 43221)4121(-++= (2)x e x
y x y 11'=+ 令C e x c e c x c xc y x x c e x c y x x dx x +=∴=∴-=∴=⎰=-)(''')()(21
，故
x C e y x +=。