所以
…………………………（5分）
于是 …………………………（7分）
即 ……………………（8分）
五、（8分）应用格林公式计算曲线积分： ，
为由 到 经过圆 上半部的路线 。
解：连接两点 ，构成封闭路径 ，从而
（2分）
记 ，（3分）
由格林公式： （6分）
线段 ： ，
（7分）
从而 （8分）
评分说明:
写出 得1分,
两边对 求导左端： …………………………（3分）
右端： …………………………（理得 ………………………………（8分）
(方法二)
因为
所以 ………………（3分）
………………（5分）
从而 …………………（7分）
即 …………………（8分）
(方法三)
因为
………………（3分）
（2）求级数的和函数及数项级数的和（5分）
设级数的和函数为 ，
则 …………………(6分)
而级数 （或 ）……………(8分)
则级数的和函数为 ……………………(9分)
幂级数中取 得数项级数 …………………(10分)
（注：求级数的和函数有多种解法，得分标准参上执行）
对于实际问题，由于驻点是唯一的，则该点就是所求的最大值点。所以当长方体的长、宽、高分别为4，4，2的时候，可以使无盖的长方体表面积最大。…………（8分）
注：如果出现目标函数与条件函数颠倒，酌情扣4分；
如果目标函数多了盖子，按错误函数求解的，酌情扣4分。
四、(8分)设函数 可微，且满足 ， ，求 。
解：(方法一)
求出 得2分
没有考虑积分曲线的封闭性而直接用格林公式且计算出结果得4分.
六、（10分）设 为连续函数，且 ，其中 是由直线 围成的区域，求 。
解：设 ……………………(1分)
则 ……………………(3分)
或
……………………(5分)
＝ ……………………(6分)
＝ ……………………(7分)
……………………(9分)
解：设长方体的长、宽、高分别为 ，则由题意：
目标函数为： …………………………………………………（1分）
条件函数为： …………………………………………………………(2分）
根据题目要求，利用拉格郎日数乘法，构造函数为：
……………………………（3分）
则有： ……………………………………………（6分）
解之：
解法二：因级数只含偶数项，故采用前后通项之比求其收敛域：
由 ……………………(1分)
根据比值判别法，由 时级数收敛可知：当 时原级数收敛……(3分)
当 时，级数 发散，…………………(4分)
所以原级数的收敛域为 …………………(5分)
（注：直接由级数的系数之比得收敛半径 得2分；写出前后通项之比公式得1分；因前后通项之比的极限值求错引起的结果错误得3分）
2．利用级数收敛的必要条件，证明： 。
证明考虑正项级数 ，……………………（2分）
由比值判别法 …………………（4分）
…………………………………………（6分）
从而级 收敛，由收敛级数的必要条件得 ……………（8分）
3．用拉格朗日乘数法求：设计一个容量为32立方米的长方形开口水箱，问水箱的长，宽和高各等于多少米时，其表面积最小？
由于 ,
所以 .……………………(10分)
七（10分）求级数 的收敛域及和函数，并求 。
（1）求级数的收敛域（5分）
解法一：设 ，则级数 ，……………………(1分)
由 ，知收敛半径 ……………………(3分)
当 ，级数 发散；当 ，级数 也发散，……………(4分)
则其收敛域为 ，可知原级数的收敛域为 ……………………(5分)