双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂xu a t u ，进一步有0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于xat ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dtdu dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂x ua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3） adx dt 1±=解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t utC C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
再求其对1C 的积分得：（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()•1f 和()•2f 均为任意的二次连续可微函数。
（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。
为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值（1.5） ()()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x tu x u t t 1000ϕϕ 将（1.5）式代入上式，则有 （ⅰ）()()()x x f x f 021ϕ=+注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有（ⅱ）()()()x ax f x f 1121ϕ='-' 并对x 积分一次，得()()()C d ax f x f x+=-⎰ξξϕ10121 与（ⅰ）式联立求解，得()()()221211002Cd a x x f x ++=⎰ξξϕϕ ()()()221211001Cd a x x f x --=⎰ξξϕϕ 将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd aatx at x 121⎰+-即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。
由D ’Alembert 公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。
如有两组初始条件：()()()()()()()()()()+∞<<∞-⎩⎨⎧====x x x u x x u x x u x x u t t 12120101~0,,0,~0,,0,ϕϕϕϕ满足 δϕϕ<-00~，δϕϕ<-11~，则 ()()≤-t x u t x u ,,21()()at x at x +++00~21ϕϕ+()()at x at x -+-11~21ϕϕ ()()ξξϕξϕd a at x atx 11~21-+⎰+- 即()()≤-t x u t x u ,,21=⋅++at a2212121δδδ()δt +1显然，当t 有限时，解是稳定的。
此外，由D ’Alembert 公式可以看出，解在()00,t x 点，()00>t 的值仅依赖于x 轴上区间[]0000,at x at x +-内的初始值()x 0ϕ，()x 1ϕ，与其他点上的初始条件无关。
故称区间[]0000,at x at x +-为点()00,t x 的依存域。
它是过点()00,t x 的两条斜率分别为a1±的直线在x 轴上截得的区间。
对于初始轴0=t 上的区间[]21,x x ，过1x 点作斜率为a1的直线at x x +=1；过1x 点作斜率为a1-的直线at x x -=2。
它们和区间[]21,x x 一起构成一个三角区域。
此三角区域中任意点()t x ,的依存区间都落在[]21,x x 内部。
所以解在此三角形区域中的数值完全由区间[]21,x x 上的初始条件确定，而与区间外的初始条件无关。
这个三角形区域称为区间[]21,x x 的决定域。
在[]21,x x 上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。
1.2显格式现在构造（1.1）的差分逼近。
取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线jh x x j ==，Λ,2,1,0±±=j ，τn t t n ==，Λ,2,1,0=n作矩形网络。
于网点()n j t x ,处Taylor 展开成()()()()()2211,,,2,h O t x u ht x u t x u t x u n j xx n j n j n j +=+--+ ()()()()()2211,,,2,ττO t x u t x u t x u t x u n j tt n j n j n j +=+--+代入（1.1）,并略去截断误差，则得差分格式： （1.7）=+--+2112τn jn j n j u u u 21122h u u u anj n j n j -++-Λ,2,1,0±±=j ，Λ,2,1,0=n这里n j u 表示u 于网点()n j t x ,处的近似值。
初值条件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8） ()j j x u 00ϕ=（1.9）()j jj x u u 101ϕτ=-注意：（1.7）的截断误差阶是()22h O +τ，而（1.9）的截断误差阶仅是()τO 。
为此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替t u ，即（1.10）()j jj x u u 1112ϕτ=--为了处理1-j u ，在（1.7）中令0=n ，得=+--21012τjj j u u u 2100122hu u u aj j j -++-进一步，=+--1012j j j u u u ()010012-++-j j j u u u r其中ha r τ=。
并用（1.10）式的()j j j x u u 1112τϕ-=-代入上式得 ()()=-+-j j j j x u x u 110122τϕϕ()()()()1001022-++-j j j x x x r ϕϕϕ即（1.11） =1ju ()()()()()()j j j j x x r x x r 1021010212τϕϕϕϕ+-+--+这样，利用（1.8） (1.11)，可以由初始层()0=n 的已知值，算出第一层()1=n 各网格节点上的值。
然后利用（1.7）或显式三层格式（1.12） =+1n ju ()()1211212--+--++n j n j n j n j u u r u u r 可以逐层求出任意网点值。
以上显式三层格式也可用于求解混合问题：（1.13）()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∂∂=∂∂t t l u t t u x x u x x u xu a t u t βαϕϕ,,00,0,1022222取JL h =，N T=τ。
除（1.7）～（1.9）外。
再补充边值条件（1.14） ()παn u N =0，()πβn u N J =1．3稳定性分析下面我们要讨论（1.7）的稳定性。
为引用Fourier 方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组，相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。
一种简单的做法是引进变量tuv ∂∂=，于是（1.1）化为 v tu =∂∂，222x u a t v ∂∂=∂∂ 这样会使得初值()0,x u 与()0,x v 不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量xua∂∂=ω，将(1.1)化为 （1.15） t u v ∂∂=，x a t v ∂∂=∂∂ω，xva t ∂∂=∂∂ω注意到：x a x u a x a x u a t u t v ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ω22222； xva x t u a t x u a x u a t t ∂∂=∂∂∂=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂22ω 若令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ωv U ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00a a A ，则(1.5)可写成 (1.16)0=∂∂-∂∂xt UA U 相应地，将（1.7）写成等价的双层格式：(1.17) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+-+--++h v v a h a v v n j n j n j n j n j n j n j n j 1111121212121τωωωωτ 即()'17.1 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+-+-+--++1111121212121n j n j n j n j n j n j n j n j v v r r v v ωωωω 其中τ1--=n jn j n j u u v ，nj 21-ωhu u a n j n j 111+-+-=。