定理1 (线性方程组有解的判定定理)
线性方程组Ax = b有解的充要条件是RA = RA ,
(i)当RA RA时，方程组无解；
(ii)当 RA = RA＝n时, 方程组有唯一解；
(ii)当 RA = RA ＜n 时,方程组有无穷多解.
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三、 齐次线性方程组非零解的存在性
定理1 齐次线性方程组
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
（1）
若b=(b1, b2,…， bm) ≠0 ，则称（1）为非齐次线性方程组；
若b =(b1, b2,…， bm) ＝ 0 ，即：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
①存在非零解的充要条件为r(A)<n; ②只有唯一零解的充要条件为r(A)=n.
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综上所述, 线性方程组的解有三种可能的情 况: （1）无解
唯一解， （2）有解
无穷多解.
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一般地，给出线性方程组 Ax = b，用初等行变 换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.
a1' 1
a1' 2
L
a1'r L
a1' n
d1
0 a2' 2 L a2' r L a2' n d2
L L L L L L L
L
A%1
0
0L
ar'r L
ar' n
dr
0 0 L 0 L 0 dr+1
0 0 L 0 L 0 0
L L L L L L L L
0 0 L 0 L 0 0
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其中 ai'i 0 i = 1, 2, , r ,与之对应的阶梯
形方程组为
a1' 1x1 + a1' 2 x2 + L
L
a22 x2 + L
+ a1' r xr + L + a2' r xr + L
+ a1' n xn + a2' n xn
= d1 = d2
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L L
L L
L L
L L
L L
ar' r xr + L + ar' n xn = dr
LLL
0 ，O =
bm
0
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a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
A称为方程组的系数矩阵.
a11 a12 L a1n b1
A%=
(
A
b)
=
a21
a22 L
a2n
b2
M M M M M
am1
am2
L
amn
bm
A~ 称为方程组的增广矩阵.
第三种情况:若dr+1≠0, 方程组(3-1)中出现矛 盾方程 0 = dr+1, 此时方程组(3-1)无解.
对于方程组(3-1), 这时有
R A% = r +1, R A = r,
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所以, 有结论:
若 RA RA , 方程组Ax = b无解,反之亦然.
总上,可得如下定理
第三章 线性方程组
第一节 高斯（Gauss）消元法
一、基本概念 二、高斯消元法 三、齐次线性方程组非零解的存在性
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一、基本概念
１．线性方程组的一般表示
含有m个方程n个变量的 n元线性方程组般形式为：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
x1 + 2 x2 + 2x3 + x4 = 0 ,
例2. 求解齐次线性方程组 2x1 + x2 - 2x3 - 2x4= 0，
x1 - x2 - 4x3 - 3x4 = 0.
1 2 2 1
解:
A
=
2
1
-2பைடு நூலகம்
-2
1 -1 -4 -3
r2 -2r1 1 2 2 1
r3 -r1
0
-3
-6
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
方程组的解集合：方程组（1）解的全体称为方程组（1）的解集合．
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上述线性方程组表示成矩阵形式为
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
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1 -2 01 00
43 23 12
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例2 解线性方程组
2x1 - x2 + 3x3 = 1，
+ + - =
（1）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax= b .
对应齐次方程组（2）可用矩阵形式表示为 Ax= ０.
a11 a12 a1n
x1
其中，A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
0
，b=
b2
（1）交换某两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某一个方程的两边； （3）将一个方程的倍数加到另一个方程上.
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5、Gauss消元法与矩阵的初等行变换 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广
矩阵施以初等行变换的过程.
解1：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11 —r3-—2r2
Ax = b
系数矩阵
常数项列向量
未知量列向量 A%= A b 为增广矩阵
问题：(1) 方程组是否有解? (2) 如果有解,它有多少解? 如何求出 它的所有解?
二、高斯消元法
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
x1 = k1 - k1,r+1 xr+1 - - k1n xn
x2
= k2
k2,r+1 xr+1
-
k2n xn
xr = kr - kr,r +1 xr+1 - - krn xn
(3-4)
其中 xr+1 , xr+2 , , xn 是自由未知量,共有(n-r)个,
当这(n-r)个自由未知量取不同的值时,就得到方
在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩 阵都有n个非零行. 矩阵A与矩阵A有相同的秩n.
总之，当R(A) = R(A) = n时，方程组Ax = b 有唯一解，反之亦然.
第二种情况:若dr+1= 0, 且r ＜ n 时, 由(3-1), 对应的阶梯形方程组为
a1' 1 x1
+
a1' 2 x2 a2' 2 x2
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x1
-
1 2
x2
=
-
5 2
x3 = 2
自由未知量
可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1 , x3的一 组值,而 x2可取任意实数,所以方程组有无数解.
方程组的所有解可表示为:
x1
=
1 2
x2
-
5 2
x2 = x2
x3 = 2
自由未知量
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