第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有AB或BA 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2 3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为?U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y ＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为() A．4B．3C．2D．1解析：由消去y得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，这时y＝1或y＝0，即A∩B＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.解析：由M＝N知或∴或答案：－1或06．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．所以m＝－.答案：－7．（2010福建，5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；③若l＝，则－≤m≤0.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：若m＝1，则x＝x2，可得x＝1或x＝0(舍去)，则S＝{1}，因此命题①正确；若m＝－，当x＝－时，x2＝∈S，故l min＝，当x＝l时，x2＝l2∈S，则l＝l2可得，可得l＝1或l＝0(舍去)，故l max＝1，∴≤l≤1，因此命题②正确；若l＝，则，得－≤m≤0，因此命题③正确．答案：D考点二集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B?A时，不要忽略B＝?和A=B的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n ∈A}，则A∩B＝()A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A ∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?U B＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，?U B ＝{3,4}，故A∩?U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B ＝()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以?R A＝{x|x≤－1}，所以(?R A)∩B ＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T ＝()A．[－4，＋∞)B．(－2,＋∞)C．[－4,1]D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R||x|≤2},B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B ＝()A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2]D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B ＝()A．{0}B．{－1,0}C．{0,1}D.{－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M,则?R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?U A＝()A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，?U A＝{3,4,5}，则B∩?U A＝{3,4}．答案：B12.(2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．?B．{2}C．{－2,2}D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A∪B＝{1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A?B B．B?A C．A＝B D．A∩B＝?解析：A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B?A.答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P?Q B．Q?P C．?R P?Q D．Q??R P解析：∵P＝{x|x＜1}，∴?R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴?R P?Q.答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?B?/a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．18．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B?A.则实数m的取值范围为________．解析：∵B?A，(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠?时，有解得－1≤m<2，综上得m≥－1.答案：[－1，＋∞)考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．1．（2012广东，5分）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则?U M＝() A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4}D．U解析：因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以2∈?U M,4∈?U M,6∈?U M，所以?U M＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y ＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝()A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]解析：由题可知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，故A∩B＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?U Q)＝()A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}解析：?U Q＝{1,2,6}，故P∩(?U Q)＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A ∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?U B＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?[解析]∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．又?U B＝{3,4}，∴A∩?U B＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{1}D．{0}解析：N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，所以M∩N＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U＝，则集合A＝的补集?U A为()A. B.C. D.解析：因为U＝{x∈R|x2≤4}＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|x＋1|≤1}＝{x∈R|－2≤x≤0}．借助数轴易得?U A＝{x∈R|0<x≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]解析：集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?U P＝() A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P＝[－1,1]，所以?U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}解析：由题可知，集合A＝{x|－2≤x≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A∩B＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B ＝{x|3x≤1}，则?U(A∩B)＝()A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)[解析]lg(x＋1)≤0?0<x＋1≤1?－1<x≤0,3x≤1?x≤0，则A∩B＝(－1,0]，?U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(?U A)∩B ＝()A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则?U A＝{x|0≤x≤2}，所以(?U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(?U A)，?U A ＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：?1?创新集合新定义；?2?创新集合新运算；?3?创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决． 角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊕B为()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故选D.＝{x|1<x≤2}，所以A B＝?A∪B角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i解析：选B∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}。