1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g （x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性
由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，
当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，
∵y=f（u）是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地，　当0＜a＜1时，
是单调递增函数
一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：
（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性
（1）（2）
又是减函数
∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）
令
∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数
∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域
练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；
（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；
（3）减区间，增区间；
（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
（1）y=f（x）的表达式及定义域；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。

答案：（1）x∈（0，3）
（2）（0，]
（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数
当x∈时，；
当x∈时，。

例3、确定函数的单调区间。

　提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。

　函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）
　函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。

　
1、求下列函数的单调区间。

（1）（2）（3）
2、求函数的递减区间。

3、求函数的递增区间。

4、讨论下列函数的单调性。

（1）（2）
答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）
2、[，2]
3、（-∞，-2）
4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y＝－x上。