高考总复习:复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件;2.了解复数的代数表示形式及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位i :(1)它的平方等于1-,即21i =-;(2)i 与-1的关系: i 就是-1的一个平方根,即方程21x =-的一个根,方程21x =-的另一个根是i -;(3)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立;(4)i 的周期性:41n i=,41n i i +=,421n i +=-,43n i i +=-(*n N ∈).2. 概念形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部。
说明:这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示;复数集与其它数集之间的关系:NZ Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系:对于复数z a bi =+(,a b R ∈),当且仅当0b =时,复数z a bi a =+=是实数;当且仅当0b ≠时,复数z a bi =+叫做虚数;当且仅当0a =且0b ≠时,复数z a bi bi =+=叫做纯虚数;当且仅当0a b ==时,复数0z a bi =+=就是实数0.所以复数的分类如下:z a bi =+(,a b R ∈)⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数;虚数当且时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。
即: 如果,,,a b c d R ∈,那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.特别地: 00a bi a b +=⇔==.应当理解:(1)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样.(2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。
如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数:两个复数的实部相等,而且虚部相反,那么这两个复数叫做共轭复数。
即:复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-(,a b R ∈)互为共轭复数。
考点二:复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即a bi +(,a b R ∈),把复数表示成a bi +的形式,叫做复数的代数形式。
2.四则运算()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±;()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数:2222()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。
考点三:复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴:点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z a bi =+(,a b R ∈)可用点(,)Z a b 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。
故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。
2.复数的几何表示(1)坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+(,a b R ∈);(2)向量表示:以原点O 为起点,点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+. 向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模,记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+≥u u u r .要点诠释:(1)向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应;(2)两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义:如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OPu u u r ,那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ,对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义:两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行;2.求解计算时,要充分利用i 的性质计算问题;3.在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用;4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【典型例题】类型一:复数的有关概念【例1】设复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++,试求实数m 取何值时,复数z 分别满足:(1)z 是纯虚数; (2)z 对应的点位于复平面的第二象限。
【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】(1)当22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即3m =时,复数z 是纯虚数;(2)当22lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩即11m -<<-13m <<时,复数z 对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】复习中,概念一定要结合意义落实到位,对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样;对一些概念的等价表达式要熟知。
比如:z a bi R =+∈⇔0b =⇔z z =⇔ 20z ≥(,a b R ∈);z a bi =+是纯虚数⇔00a b =≠且⇔0z z +=(0z ≠)⇔20z <; 举一反三:【变式1】复数12ai i+-为纯虚数,则实数a 为( ). A .2 B .-2 C .-12 D. 12 【答案】A 【解析】1(1)(2)2212(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+, 由纯虚数的概念知:25a -=0,∴a =2. 【变式2】求当实数m 取何值时,复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是:(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数。
【解析】 (1)当2320m m -+=即1m =或2m =时,复数z 为实数;(2)当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时,复数z 为虚数;(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时,复数z 为纯虚数. 【变式2】已知复数z 满足||1z =且21z ≠-,则复数12+z z ( ) A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数【答案】[法1] 设z a bi =+(,a b R ∈),有221a b +=,0a ≠.则22221121222z a bi a bi R z a abi b a abi a++===∈++-++,故应选C 。
[法2] ∵2||1z z z ⋅==,∴2211()z z z R z z z z z z z z z ===∈++⋅++. [法3] ∵2||1z z z ⋅==,∴ 2211(1)z z z R z z z z z⋅==∈++⋅+. 类型二:复数相等【例2】已知集合M={(a+3)+(b 2-1)i,8},集合N={3,(a 2-1)+(b+2)}同时满足M ∩N≠⊂M ,M ∩N ≠Φ,求整数a,b 【思路点拨】先判断两集合元素的关系,再列方程组,进而解方程组,最后检验结果是否符合条件。
【解答】2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得…………………………①或28(1)(2)a b i =-+…………………………………………②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++…………………………③由①得a=-3,b=±2,经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去。
∴a=-3,b=2由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b =-2不合题意,∴a=3,b=-2;由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3,b=2或a=3,b=-2。
【总结升华】1、a+bi=c+di ⇔(,,,)a c a b c d R b d =⎧∈⎨=⎩. 2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。
解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注:对于复数z ,如果没有给出代数形式,可设z= a+bi(a,b ∈R)。
举一反三: 【变式】已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,求z 2.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R),由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ,又已知z 1·z 2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数,则虚部4-a=0,即a=4,则复数z 2=4+2i.类型三:复数的代数形式的四则运算【例3】计算:(12)(34)i i +÷-【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】 2212(12)(34)386451012(12)(34)34(34)(34)342555i i i i i i i i i i i i +++-++-++÷-=====-+--++ 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化,通常上下同乘分母的共轭复数,利用21i =-进行运算。
举一反三:【变式1】8)3122(i i-+【答案】:原式=8)23211(i i +-+ii i i i i i i i i 3884341388)2321)(2321()2321(162321)2()2321(])2321[(])1[(422342+-=++-=+---+-⋅=--=+-⋅+-+= 【变式2】复数512i i=-( ) .2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+【解析】选C 解法一: 55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i i i i i i +-+===-+-- 解法二:验证法 验证每个选项与1-2i 的积,正好等于5i 的便是答案.【例4】已知z 1,z 2为复数,(3+i)z 1为实数,12z z 2i+=,且|z 2|=52z 2. 【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z 1=z 2(2+i),(3+i)z 1=z 2(2+i)(3+i)=z 2(5+5i)∈R ,∵|z 2|=52∴|z 2(5+5i)|=50,∴z 2(5+5i)=±50,()25010z 55i .55i 1i∴±±±-++=== 【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论,可提高运算速度:①(1±i)2=±2i ;1i 1i a bi i i b ai 1i 1i i+-+==-=--+②;③;④; ⑤i 4n =1,i 4n+1=i ,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟透i 的特点及熟练应用运算技巧。