第35课时 解直角三角形(70分)一、选择题(每题6分，共30分)1．[2017·益阳]如图35－1，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上) ( B )图35－1A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α【解析】 ∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCD ，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD ＝CD BC ，∴BC ＝CD cos ∠BCD ＝h cos α. 2．[2017·南宁]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里图35－2 第2题答图【解析】 如答图，作PE ⊥AB 于E . 在Rt △P AE 中，∵∠P AE ＝45°，P A ＝60海里，∴PE ＝AE ＝ 22×60＝30 2(海里)，在Rt △PBE 中，∵∠B ＝30°，∴PB ＝2PE ＝602(海里)．3．[2017·烟台]如图35－3，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20 m 到达A ′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器AB 的高度为1.6 m ，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1 m ，2≈1.414，tan67.5°＝1＋2)( C ) A ．34.14 mB ．34.1 mC ．35.7 mD ．35.74 m图35－3 第3题答图 【解析】 如答图，过B 作BF ⊥CD 于F ，∴AB ＝A ′B ′＝CF ＝1.6 m ，在Rt △DFB ′中，B ′F ＝DF tan67.5°，在Rt △DFB 中，BF ＝DF ，∵BB ′＝AA ′＝20 m ，∴BF －B ′F ＝DF －DF tan67.5° ＝20，∴DF ≈34.1 m ，∴CD ＝DF ＋CF ≈35.7 m ，即楼房CD 的高度约为35.7 m.4．[2017·百色]如图35－4，在距离铁轨200 m 的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10 s 后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )图35－4A ．20(3＋1)m/sB ．20(3－1)m/sC ．200 m/sD ．300 m/s【解析】 如答图，作BD ⊥AC 于点D .∵在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝200 3(m)，同理，CD＝BD＝200(m)．则AC＝(200＋200 3)m.∴动车平均速度是200＋200310＝20( 3 ＋1)m/s.第4题答图5．[2017·重庆A卷]如图35－5，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3 m，CE＝2 m，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10 m，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) (A)A．5.1 m B.6.3 mC．7.1 m D.9.2 m图35－5 第5题答图【解析】如答图，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵i＝1∶0.75，∴CGBG＝10.75，即BG＝34CG，∵坡长BC＝10 m，BG2＋CG2＝BC2，916CG2＋CG2＝100，解得CG＝8，∴BG＝6.过点E作EF⊥AB，垂足为点F，易知EF∥CG，又∵CE∥AB，∴四边形CEFG为平行四边形，又∵EF⊥AB，∴▱CEFG为矩形，∴EF＝CG＝8，CE＝GF＝2，又∵DE＝3，∴DF＝11，在Rt△ADF中，∠A＝40°，∴tan40°＝DFAF，即11AF＝0.84，解得AF≈13.10，∴AB＝13.10－6－2≈5.1(m)．二、填空题(每题6分，共18分)6．如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是结果保留根号)．【解析】 在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD ，∴tan30°＝AD CD ，又∵CD ＝9 m ，∴AD＝3 3 m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝9 m ，∴AB ＝AD ＋BD ＝()33＋9 m.7．[2017·天门]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图35－7，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD .已知迎水坡面AB ＝12 m ，背水坡面CD ＝12 3 m ，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tan E ＝3133，则CE 的长为__8__m.图35－7 第7题答图 【解析】 分别过A ，D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂点分别为F ，G ，如答图所示．∵在Rt △ABF 中，AB ＝12 m ，∠B ＝60°，∴sin ∠B ＝AF AB ，∴AF ＝12× 32＝6 3，∴DG＝6 3.∵在Rt △DGC 中，CD ＝12 3，DG ＝6 3 m ，∴GC ＝CD 2－DG 2＝18.∵在Rt △DEG 中，tan E ＝3133，∴63GE ＝3133，解得GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8，即CE 的长为8 m.8．[2017·大庆]如图35－8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为__203__m.图35－8 第8题答图 【解析】 如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，得∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝30°，在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴BD ＝AD tan60°，同理，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan30°，∵BD ＋CD ＝BC ＝80，∴ADtan60°＋ADtan30°＝80，解得AD＝203，即点A到河岸BC的距离为20 3 m.三、解答题(共22分)9．(10分)[2016·台州]保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm，如图35－9①是一位同学的坐姿，把她的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC.已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，她的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)图35－9解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：如答图，过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△BDC中，BD＝BC·sin53°≈24，CD＝BC·cos53°≈18，AD＝AC－CD≈4，在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2≈592(cm)＜30 cm.答：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．10．(12分)[2017·常德]图35－10是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60 m，底座BC与支架AC所形成的∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50 m，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35 m，篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．(精确到0.01 m，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)图35－10第9题答图【解析】过A 点作FE 的垂线交FE 的延长线于M ，则篮板顶端F 点到地面的距离是FM 和AB 的和，再减去FD 即可得到篮筐D到地面的距离．解：如答图，过点A 作AM ⊥FE 交FE 的延长线于M ，∵∠FHE＝60°，∴∠F ＝30°.在Rt △AFM 中，FM ＝AF ·cos F ＝ AF ·cos 30°＝2.50× 32≈2.165 m.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝ BC ·tan75°≈0.60×3.732≈2.239 m.∴篮筐D 到地面的距离为FM ＋AB －FD ＝2.165＋2.239－1.35＝3.05 m.(14分)11．(14分)[2017·泸州]如图35－11，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．图35－11第11题答图 【解析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中用x 表示BD ，CD ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程求解．解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得∠BCD ＝30°，设BC ＝x ，则在Rt △BCD 中，BD ＝BC sin30°＝12x ，CD ＝BC cos30°＝ 32x .∴AD ＝30＋12x ，在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x 2＝702，解得x 1＝50，x 2＝－80(舍去)．答：渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．(16分)第10题答图12．(16分)[2017·舟山]如图35－12是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，小强身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)．(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1)图35－12 第12题答图【解析】(1)作FN⊥KD于点N，EM⊥FN于点M，由上半身及下半身的长，利用三角函数计算出MF与FN的长，其和MN即小强头部E与地面DK的距离；(2)作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，分别计算PH，EM，GN，OB，OH的长，根据图形作答．解：(1)如答图，过点F作FN⊥KD于点N，过点E作EM⊥FN于点M.∵EF＋FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100sin80°≈98，又∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，∴FM＝66cos45°＝33 2≈46.53，∴MN＝FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距144.5 cm；(2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.∵AB＝48，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66sin45°≈46.53，即PH≈46.53，GN＝100cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56，∴OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5.∴他应向前9.5 cm.。