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2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)

解直角三角形一.选择题1.(2018·重庆市B卷)(4.00分)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN,求出CN,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题;【解答】解:作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.在Rt△CDN中,∵==,设CN=4k,DN=3k,∴CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米),故选:A.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.2.(2018·吉林长春·3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A.B在同一水平面上).为了测量A.B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A.B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.3.(2018·江苏常州·2分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是()A.B.C.D.【分析】如图,连接AD.只要证明∠AOB=∠ADO,可得sin∠AOB=sin∠ADO==;【解答】解:如图,连接AD.∵OD是直径,∴∠OAD=90°,∵∠AOB+∠AOD=90°,∠AOD+∠ADO=90°,∴∠AOB=∠ADO,∴sin∠AOB=sin∠ADO==,故选:D.【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考创新题目.二.填空题1. (2018·湖北江汉·3分)我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B在海岛A,C附近捕鱼作业,已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上,此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1+)n mile 处,则海岛A,C之间的距离为18n mile.【分析】作AD⊥BC于D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD,根据题意列式计算即可.【解答】解:作AD⊥BC于D,设AC=x海里,在Rt△ACD中,AD=AC×sin∠ACD=x,则CD=x,在Rt△ABD中,BD=x,则x+x=18(1+),解得,x=18,答:A,C之间的距离为18海里.故答案为:182. (2018·湖北荆州·3分)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米,某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°,再向古塔方向行进a米后到达B处,在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示),那么a的值约为米(≈1.73,结果精确到0.1).【解答】解:如图,设CD为塔身的高,延长AB交CD于E,则CD=40,DE=7,∴CE=33,∵∠CBE=45°=∠BCE,∠CAE=30°,∴BE=CE=33,∴AE=a+33,∵tanA=,∴tan30°=,即33=a+33,解得a=33(﹣1)≈24.1,∴a的值约为24.1米,故答案为:24.1.3.(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为知30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A.B间的距离为100+100米(结果保留根号).【解答】解:∵∠MCA=45°,∠NCB=30°,∴∠ACD=45°,∠DCB=60°,∠B=30°.∵CD=100米,∴AD=CD=100米,D B=米,∴AB=AD+DB=100+100(米).故答案为:100+100.4. (2018·湖北咸宁·3分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m,那么该建筑物的高度BC约为_____m(结果保留整数,≈1.73).【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中,根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD,在Rt△ACD中,求得CD=AD•tan∠CAD,再根据BC=BD+CD,代入数据计算即可.【详解】如图,∵在Rt△ABD中,AD=110,∠BAD=45°,∴BD= AD•tan45° =110(m),∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴CD=AD•tan60°=110×≈190(m),∴BC=BD+CD=110+190=300(m),即该建筑物的高度BC约为300米,故答案为:300.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.5.(2018·辽宁大连·3分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为 m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)解:过D作DE⊥AB,∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,∴∠ADE=53°.∵BC=DE=6m,∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m.故答案为:9.5.三.解答题1. (2018·广西贺州·8分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)【解答】解:过点C作CM⊥AB,垂足为M,在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,∴AM=MC,由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20×2)2,解得:AM=CM=40,∵∠ECB=15°,∴∠BCF=90°﹣15°=75°,∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,在Rt△BCM中,tanB=tan30°=,即=,∴BM=40,∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(海里),答:A处与灯塔B相距109海里.2. (2018·广西梧州·8分)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°,测得瀑布底端B点的俯角是10°,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27m,GF=17.6m(注:C.G、F三点在同一直线上,CF⊥AB于点F).斜坡CD=20m,坡角∠ECD=40°.求瀑布AB的高度.(参考数据:≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)【分析】过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,在Rt△CMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF、DN的长度,再在Rt△BDN、Rt△ADN中,利用解直角三角形求出BN、AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.【解答】解:过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作D N⊥AB,交AB于点N,如图所示.在Rt△CMD中,CD=20m,∠DCM=40°,∠CMD=90°,∴CM=CD•cos40°≈15.4m,DM=CD•sin40°≈12.8m,∴DN=MF=CM+CG+GF=60m.在Rt△BDN中,∠BDN=10°,∠BND=90°,DN=60m,∴BN=DN•tan10°≈10.8m.在Rt△ADN中,∠ADN=30°,∠AND=90°,DN=60m,∴AN=DN•tan30°≈34.6m.∴AB=AN+BN=45.4m.答:瀑布AB的高度约为45.4米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题,通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键.3. (2018·湖北十堰·7分)如图,一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处,求此时船距灯塔的距离(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果取整数).【分析】过C作CD垂直于AB,根据题意求出AD与BD的长,由AD+DB求出AB的长即可.【解答】解:过C作CD⊥AB,在Rt△ACD中,∠A=45°,∴△ACD为等腰直角三角形,∴AD=CD=AC=50海里,在Rt△BCD中,∠B=30°,∴BC=2CD=100海里,根据勾股定理得:BD=50海里,则AB=AD+BD=50+50≈193海里,则此时船锯灯塔的距离为193海里.【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.4.(2018·云南省昆明·7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)【分析】如图作AE⊥BD于E.分别求出BE.DE,可得BD的长,再根据CD=BD﹣BC计算即可;【解答】解:如图作AE⊥BD于E.在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∴BE=AB=5(m),AE=5(m),在Rt△ADE中,DE=AE•tan42°=7.79(m),∴BD=DE+BE=12.79(m),∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3(m),答:标语牌CD的长为6.3m.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.5.(2018·浙江省台州·8分)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角∠HAC 为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)【分析】作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF 即可.【解答】解:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°,在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23,∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m),答:操作平台C离地面的高度为7.6m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用:先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题),然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算.6.(2018·辽宁省盘锦市)两栋居民楼之间的距离CD=30米,楼AC和B D均为10层,每层楼高3米.(1)上午某时刻,太阳光线GB与水平面的夹角为30°,此刻B楼的影子落在A楼的第几层?(2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.【解答】解:(1)延长BG,交AC于点F,过F作FH⊥BD于H,由图可知,FH=CD=30m.∵∠BFH=∠α=30°.在Rt△BFH中,BH=,,答:此刻B楼的影子落在A楼的第5层;(2)连接BC\1BD=3×10=30=CD,∴∠BCD=45°,答:当太阳光线与水平面的夹角为45度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.7.(2018·辽宁省抚顺市)(12.00分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内,CM∥AN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)【分析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可;(2)在Rt△BCH中,求出BH、CH,在Rt△ADH中求出AH即可解决问题;【解答】解:(1)延长DC交AN于H.∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,∴∠BDH=30°,∵∠CBH=30°,∴∠CBD=∠BDC=30°,∴BC=CD=10(米).(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,∴DH=15,在Rt△ADH中,AH===20,∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4(米).【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.8. (2018•呼和浩特•8分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米?(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)解:作DH⊥BC于H.设AE=x.∵DH:BH=1:3,在Rt△BD H中,DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60,BH=180,在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴DE=AE=x,∵又HC=ED,EC=DH,∴HC=x,EC=60,在Rt△ABC中,tan33°=,∴x=,∴AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度AC是米9. (2018•广安•8分)据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,如图所示,观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上,终点B位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度?(观测点C离地面的距离忽略不计,参考数据:≈1.41,≈1.73)【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB,DA,进而解答即可.【解答】解:由题意得:∠DCA=60°,∠DCB=45°,在Rt△CDB中,tan∠DCB=,解得:DB=200,在Rt△CDA中,tan∠DCA=,解得:DA=200,∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米,轿车速度,答:此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度,难度一般.10. (2018•莱芜•9分)在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8m,A端到地面的距离AC是4m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C.E.D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)【分析】过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.【解答】解:过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,在Rt△BAF中,∠BAF=65°,BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72,AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32,∴FC=AF+AC=4.32,∵四边形FCGB是矩形,∴BG=FC=4.32,CG=BF=0.72,∵∠BDG=45°,∴∠BDG=∠GBD,∴GD=GB=4.32,∴CD=CG+GD=5.04,在Rt△ACE中,∠AEC=50°,CE=,∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7,答:小水池的宽DE为1.7米.【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.11.(2018·江苏镇江·6分)如图,校园内有两幢高度相同的教学楼AB,CD,大楼的底部B,D在同一平面上,两幢楼之间的距离BD长为24米,小明在点E(B,E,D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°,然后沿EB方向前进8米到达点G处,测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度均为1.6米,求教学楼AB 的高度AB长.(精确到0.1米)参考值:≈1.41,≈1.73.【解答】解:延长HF交CD于点N,延长FH交AB于点M,如右图所示,由题意可得,MB=HG=FE=ND=1.6m,HF=GE=8m,MF=BE,HN=GD,MN=BD=24m,设AM=xm,则CN=xm,在Rt△AFM中,MF=,在Rt△CNH中,HN=,∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24,即8=x+x﹣24,解得,x≈11.7,∴AB=11.7+1.6=13.3m,答:教学楼AB的高度AB长13.3m.12.(2018·江苏常州·8分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A.B和点C.D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段运河的河宽(即CH 的长).【分析】过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,由矩形的对边相等得到两对对边相等,分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中,设CH=DE=xm,利用锐角三角函数定义表示出AH与BE,由AH+HE+EB=AB列出方程,求出方程的解即可得到结果.【解答】解:过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,∴HE=CD=40m,设CH=DE=xm,在Rt△BDE中,∠DBA=60°,∴BE=xm,在Rt△ACH中,∠BAC=30°,∴AH=xm,由AH+HE+EB=AB=160m,得到x+40+x=160,解得:x=30,即CH=30m,则该段运河的河宽为30m.【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.。

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